Номер 569, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 569, страница 152.

Условие.

569 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен $ \frac{|a-b|}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD \parallel BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Требуется доказать, что отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции и его длина равна полуразности длин оснований.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Рассмотрим боковую сторону $AB$ и отметим на ней середину — точку $K$.

1. Докажем, что отрезок $MN$ параллелен основаниям $AD$ и $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $KM$ параллелен стороне $BC$ и равен её половине:$KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, отрезок $KN$ параллелен стороне $AD$ и равен её половине:$KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$.

Поскольку основания трапеции по определению параллельны ($AD \parallel BC$), а мы установили, что $KN \parallel AD$ и $KM \parallel BC$, то следует, что отрезки $KN$ и $KM$ параллельны друг другу ($KN \parallel KM$).

Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Так как отрезки $KN$ и $KM$ имеют общую точку $K$ и параллельны, они должны лежать на одной прямой. Это означает, что точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой (коллинеарны).

Так как прямая, содержащая точки $K, M, N$, параллельна основаниям $AD$ и $BC$, то и отрезок $MN$, являющийся частью этой прямой, также параллелен основаниям трапеции $AD$ и $BC$. Первая часть утверждения доказана.

2. Докажем, что длина отрезка $MN$ равна полуразности оснований.

Поскольку точки $K, M, N$ лежат на одной прямой, длина отрезка $MN$ может быть найдена как модуль разности длин отрезков $KN$ и $KM$.$MN = |KN - KM|$.

Подставим в это выражение найденные ранее значения длин $KN$ и $KM$:$MN = |\frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC| = \frac{|AD - BC|}{2}$.

Таким образом, длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности длин её оснований. Вторая часть утверждения доказана.

Ответ: Утверждение полностью доказано: отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен их полуразности.