Номер 563, страница 145 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 563, страница 145.

Условие.

563 □ Через точку $M$, взятую на медиане $AD$ треугольника $ABC$, и вершину $B$ проведена прямая, пересекающая сторону $AC$ в точке $K$. Найдите отношение $\frac{AK}{KC}$, если:

а) $M$ — середина отрезка $AD$;

б) $\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи можно использовать теорему Менелая или метод с дополнительным построением. Воспользуемся вторым способом, так как он более нагляден.

Проведем через точку D прямую, параллельную прямой BK, до пересечения со стороной AC в точке P. Таким образом, $DP \parallel BK$.

1. Рассмотрим треугольник $BKC$. Так как $AD$ — медиана, то точка D является серединой стороны $BC$. Поскольку $DP \parallel BK$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии) отрезок $DP$ является средней линией треугольника $BKC$. Следовательно, точка P — середина отрезка $KC$, то есть $KP = PC$.

2. Теперь рассмотрим угол $DAC$ (или треугольник $ADP$). Прямая $MK$ параллельна прямой $DP$ (так как обе параллельны $BK$). По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса) имеем соотношение:

$ \frac{AK}{KP} = \frac{AM}{MD} $

3. Из пункта 1 мы знаем, что $KC = KP + PC = KP + KP = 2KP$, откуда $KP = \frac{1}{2}KC$.

4. Подставим выражение для $KP$ в соотношение из пункта 2:

$ \frac{AK}{\frac{1}{2}KC} = \frac{AM}{MD} $

Упростив, получаем общую формулу для решения задачи:

$ \frac{2AK}{KC} = \frac{AM}{MD} \implies \frac{AK}{KC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AM}{MD} $

Теперь, используя эту формулу, решим оба пункта задачи.

а)

Если M — середина отрезка AD, это означает, что $AM = MD$, и, следовательно, отношение $ \frac{AM}{MD} = 1 $.

Подставляем это значение в нашу выведенную формулу:

$ \frac{AK}{KC} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б)

По условию дано, что $ \frac{AM}{MD} = \frac{1}{2} $.

Подставляем это значение в нашу формулу:

$ \frac{AK}{KC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AM}{MD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $