Номер 556, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 556, страница 144.

Условие.

556 Стороны угла O пересечены параллельными прямыми AB и CD. Докажите, что отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD (рис. 194).

Решение

Проведём через точку A прямую $AC_1$, параллельную прямой $BD$ ($C_1$ — точка пересечения этой прямой с прямой $CD$). Тогда $\triangle OAB \sim \triangle ACC_1$ по первому признаку подобия треугольников ($\angle O = \angle CAC_1$, $\angle OAB = \angle C$), следовательно, $\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1}$. Так как $AC_1 = BD$ (объясните почему), то $\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD}$, что и требовалось доказать.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

По условию задачи, стороны угла O пересечены параллельными прямыми AB и CD. Требуется доказать, что отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD, то есть, что выполняется равенство $\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD}$.

Для доказательства воспользуемся предложенным в задаче методом с дополнительным построением. Проведём через точку A прямую, параллельную прямой BD (и, следовательно, всей прямой OD). Пусть $C_1$ — точка пересечения этой прямой с прямой CD. Таким образом, по построению $AC_1 \parallel BD$.

Сначала докажем, что $AC_1 = BD$. Этот шаг в решении из учебника требует объяснения.

• Рассмотрим четырёхугольник $AC_1DB$.
• Сторона $AB$ параллельна стороне $C_1D$, так как по условию задачи прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, а точки $C_1$ и $D$ лежат на прямой $CD$.
• Сторона $AC_1$ параллельна стороне $BD$ по построению.

Поскольку у четырёхугольника $AC_1DB$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Следовательно, $AC_1 = BD$.

Теперь докажем, что треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle AC_1C$ подобны. Для этого найдём две пары равных углов.

• Угол $\angle OAB$ равен углу $\angle ACC_1$ (или $\angle OCD$), так как это соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $OC$.
• Угол $\angle OBA$ равен углу $\angle AC_1C$. Чтобы доказать это, воспользуемся третьим углом $\angle ODC$.
  1) $\angle OBA = \angle ODC$ как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $OD$.
  2) $\angle AC_1C = \angle ODC$ как соответственные углы при параллельных прямых $AC_1$ и $OD$ (по построению) и секущей $CD$.
  Из этих двух равенств следует, что $\angle OBA = \angle AC_1C$.

Таким образом, треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle AC_1C$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1}$

Так как мы ранее доказали, что $AC_1 = BD$, мы можем подставить $BD$ вместо $AC_1$ в полученную пропорцию:

$\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD}$

Это и есть то, что требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD ($\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD}$), доказано.