Номер 552, страница 143 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 552, страница 143.

Условие.

552 Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Найдите:

а) $AB$, если $OB = 4$ см, $OD = 10$ см, $DC = 25$ см;

б) $\frac{AO}{OC}$ и $\frac{BO}{OD}$, если $AB = a$, $DC = b$;

в) $AO$, если $AB = 9.6$ дм, $DC = 24$ см, $AC = 15$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

Поскольку $AB$ и $CD$ — основания трапеции, то $AB \parallel CD$.

Тогда:

• $\angle OAB = \angle OCD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$).
• $\angle OBA = \angle ODC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$).

Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC}$

Это соотношение используется для решения всех пунктов задачи.

а)

Дано: $OB = 4$ см, $OD = 10$ см, $DC = 25$ см.

Используем соотношение из подобия:

$\frac{AB}{DC} = \frac{BO}{OD}$

Подставим известные значения:

$\frac{AB}{25} = \frac{4}{10}$

Отсюда найдем $AB$:

$AB = 25 \cdot \frac{4}{10} = 25 \cdot 0.4 = 10$ см.

Ответ: $10$ см.

б)

Дано: $AB = a$, $DC = b$.

Из основного соотношения подобия треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ имеем:

$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC}$

Подставляя данные значения для оснований $AB$ и $DC$, получаем:

$\frac{AO}{OC} = \frac{a}{b}$ и $\frac{BO}{OD} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{AO}{OC} = \frac{a}{b}$ и $\frac{BO}{OD} = \frac{a}{b}$.

в)

Дано: $AB = 9,6$ дм, $DC = 24$ см, $AC = 15$ см.

Для начала приведем все длины к одной единице измерения — сантиметрам. Зная, что $1$ дм = $10$ см, получаем:

$AB = 9,6 \text{ дм} = 9,6 \cdot 10 \text{ см} = 96 \text{ см}$.

Используем соотношение из подобия, связывающее отрезки диагонали $AC$ и основания:

$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC}$

Подставим значения длин оснований:

$\frac{AO}{OC} = \frac{96}{24} = 4$

Из этого соотношения выразим $AO$ через $OC$:

$AO = 4 \cdot OC$

Также нам известно, что точка $O$ делит диагональ $AC$ на два отрезка, $AO$ и $OC$, поэтому их сумма равна длине всей диагонали:

$AO + OC = AC = 15$ см.

Подставим выражение $AO = 4 \cdot OC$ в это уравнение:

$4 \cdot OC + OC = 15$

$5 \cdot OC = 15$

$OC = \frac{15}{5} = 3$ см.

Теперь найдем искомую длину $AO$:

$AO = 4 \cdot OC = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: $12$ см.