Номер 547, страница 141 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 1. Определение подобных треугольников - номер 547, страница 141.

Условие.

547 Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны два подобных треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Обозначим длины их сторон соответственно: $ AB = c, BC = a, AC = b $ и $ A_1B_1 = c_1, B_1C_1 = a_1, A_1C_1 = b_1 $.

По определению подобных треугольников, их соответственные стороны пропорциональны. Коэффициентом подобия $k$ называется число, равное отношению длин соответственных сторон. Таким образом, мы можем записать:

$ \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k $

Из этих равенств выразим стороны треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $ через стороны треугольника $ \triangle ABC $ и коэффициент подобия $k$:

$ a_1 = k \cdot a $
$ b_1 = k \cdot b $
$ c_1 = k \cdot c $

Периметр $P$ треугольника $ \triangle ABC $ равен сумме длин его сторон: $ P = a + b + c $.

Периметр $P_1$ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $ равен сумме длин его сторон: $ P_1 = a_1 + b_1 + c_1 $.

Найдем отношение их периметров $ \frac{P_1}{P} $. Для этого подставим в выражение для $P_1$ полученные выше соотношения для его сторон:

$ \frac{P_1}{P} = \frac{a_1 + b_1 + c_1}{a + b + c} = \frac{k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c}{a + b + c} $

Вынесем общий множитель $k$ за скобки в числителе:

$ \frac{P_1}{P} = \frac{k(a + b + c)}{a + b + c} $

Так как периметр треугольника не может быть равен нулю, то $ a + b + c \neq 0 $. Сократив дробь на $ (a + b + c) $, получаем:

$ \frac{P_1}{P} = k $

Таким образом, мы доказали, что отношение периметров двух подобных треугольников равно их коэффициенту подобия.

Ответ: Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия, что и требовалось доказать.