Номер 553, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 553, страница 144.

Условие.

553 Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют:а) по равному острому углу;б) по равному тупому углу;в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) по равному острому углу

Не всегда. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (первый признак подобия). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть два равнобедренных треугольника имеют по равному острому углу $\alpha$. Этот угол может быть как углом при вершине (между равными сторонами), так и углом при основании.

Если в одном треугольнике этот угол $\alpha$ является углом при вершине, а в другом — углом при основании, то треугольники, в общем случае, не будут подобны. Приведём контрпример.

Пусть равный острый угол $\alpha = 50^\circ$.

Рассмотрим первый равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $50^\circ$. Тогда его углы при основании будут равны: $(180^\circ - 50^\circ) / 2 = 65^\circ$. Углы этого треугольника: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$.

Рассмотрим второй равнобедренный треугольник, у которого угол при основании равен $50^\circ$. Тогда второй угол при основании также равен $50^\circ$, а угол при вершине равен: $180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 80^\circ$. Углы этого треугольника: $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$.

Наборы углов $(50^\circ, 65^\circ, 65^\circ)$ и $(50^\circ, 50^\circ, 80^\circ)$ не совпадают. Следовательно, эти треугольники не подобны.

Поскольку существует случай, когда треугольники не подобны, то одного лишь наличия равного острого угла недостаточно для вывода об их подобии.
Ответ: Нет, не обязательно.

б) по равному тупому углу

Да, подобны.

В любом треугольнике может быть не более одного тупого угла (угла больше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы они были тупыми, их сумма превысила бы $180^\circ$, что невозможно. Следовательно, равный тупой угол $\alpha$ в обоих треугольниках может быть только углом при вершине, противолежащим основанию.

Пусть в двух равнобедренных треугольниках углы при вершине равны $\alpha$. Тогда в каждом из этих треугольников углы при основании будут равны $(180^\circ - \alpha) / 2$.

Таким образом, все углы первого треугольника $(\alpha, (180^\circ - \alpha) / 2, (180^\circ - \alpha) / 2)$ соответственно равны всем углам второго треугольника. По первому признаку подобия (по двум равным углам) треугольники подобны.
Ответ: Да.

в) по прямому углу

Да, подобны.

Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. В треугольнике может быть не более одного прямого угла ($90^\circ$). Если бы в равнобедренном треугольнике прямыми были углы при основании, их сумма составила бы $180^\circ$, что невозможно для треугольника. Следовательно, прямой угол в равнобедренном треугольнике может быть только углом при вершине.

Таким образом, оба треугольника являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Угол при вершине у них равен $90^\circ$, а каждый из углов при основании равен $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Поскольку все углы одного треугольника $(90^\circ, 45^\circ, 45^\circ)$ соответственно равны всем углам другого, то по первому признаку подобия треугольники подобны.
Ответ: Да.