Номер 550, страница 143 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 550, страница 143.

Условие.

550 По данным рисунка 193 найдите $x$ и $y$.

Рис. 193

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

a)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника на верхнем рисунке. В левом треугольнике катеты равны 8 и 12. Тангенс угла $\alpha$, который является одним из острых углов этого треугольника, равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

В правом треугольнике катеты равны $x$ и 6. Угол $\alpha$ в этом треугольнике является другим острым углом (при вершине). Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (равного 6) к прилежащему катету (равному $x$):

$\tan(\alpha) = \frac{6}{x}$

Поскольку значения тангенса для одного и того же угла $\alpha$ должны быть равны, мы можем приравнять два полученных выражения:

$\frac{2}{3} = \frac{6}{x}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2 \cdot x = 3 \cdot 6$

$2x = 18$

$x = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Ответ: $x=9$

б)

На нижнем рисунке изображены два прямоугольных треугольника: большой и малый, вложенный в него. Эти треугольники подобны, так как у них есть общий острый угол (в правом нижнем углу), и оба они имеют по прямому углу.

Определим размеры катетов обоих треугольников:

• У большого треугольника вертикальный катет равен $y$, а горизонтальный катет равен сумме длин отрезков на основании: $20 + 8 = 28$.
• У малого треугольника вертикальный катет равен 10, а горизонтальный катет равен 8.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон (катетов) равно. Составим пропорцию:

$\frac{\text{вертикальный катет большого } \triangle}{\text{вертикальный катет малого } \triangle} = \frac{\text{горизонтальный катет большого } \triangle}{\text{горизонтальный катет малого } \triangle}$

Подставим известные значения:

$\frac{y}{10} = \frac{28}{8}$

Упростим дробь в правой части уравнения:

$\frac{28}{8} = \frac{7 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{7}{2}$

Теперь решим уравнение для $y$:

$\frac{y}{10} = \frac{7}{2}$

$y = 10 \cdot \frac{7}{2}$

$y = 5 \cdot 7$

$y = 35$

Ответ: $y=35$