Номер 557, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 557, страница 144.

Условие.

557 Стороны угла A пересечены параллельными прямыми $BC$ и $DE$, причём точки $B$ и $D$ лежат на одной стороне угла, а $C$ и $E$ — на другой. Найдите:

а) $AC$, если $CE = 10 \text{ см}$, $AD = 22 \text{ см}$, $BD = 8 \text{ см}$;

б) $BD$ и $DE$, если $AB = 10 \text{ см}$, $AC = 8 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$, $CE = 4 \text{ см}$;

в) $BC$, если $AB : BD = 2 : 1$ и $DE = 12 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку прямые $BC$ и $DE$ параллельны, они отсекают от угла $A$ подобные треугольники: $\triangle ABC \sim \triangle ADE$. Это следует из того, что $\angle A$ — общий для обоих треугольников, а углы $\angle ABC$ и $\angle ADE$ (а также $\angle ACB$ и $\angle AED$) являются соответственными при параллельных прямых $BC$ и $DE$ и секущих $AD$ и $AE$ соответственно, и потому равны.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$

Также учтем, что $AD = AB + BD$ и $AE = AC + CE$.

Теперь решим каждую из задач.

а)

Дано: $CE = 10$ см, $AD = 22$ см, $BD = 8$ см.
Сначала найдем длину отрезка $AB$:
$AB = AD - BD = 22 - 8 = 14$ см.
Обозначим искомую длину $AC$ через $x$. Тогда $AE = AC + CE = x + 10$ см.
Составим пропорцию, используя соотношение сторон $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$:

$\frac{14}{22} = \frac{x}{x + 10}$

Сократим дробь в левой части:

$\frac{7}{11} = \frac{x}{x + 10}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем уравнение:

$7(x + 10) = 11x$

$7x + 70 = 11x$

$11x - 7x = 70$

$4x = 70$

$x = \frac{70}{4} = 17.5$ см.

Таким образом, $AC = 17.5$ см.

Ответ: 17.5 см.

б)

Дано: $AB = 10$ см, $AC = 8$ см, $BC = 4$ см, $CE = 4$ см.
Найдем длину отрезка $AE$:
$AE = AC + CE = 8 + 4 = 12$ см.
Теперь мы можем использовать пропорцию $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$. Подставим известные значения:

$\frac{10}{AD} = \frac{8}{12} = \frac{4}{DE}$

Из пропорции $\frac{10}{AD} = \frac{8}{12}$ найдем $AD$:
$8 \cdot AD = 10 \cdot 12$
$8 \cdot AD = 120$
$AD = \frac{120}{8} = 15$ см.
Теперь можем найти $BD$:
$BD = AD - AB = 15 - 10 = 5$ см.

Из пропорции $\frac{8}{12} = \frac{4}{DE}$ найдем $DE$:
$8 \cdot DE = 12 \cdot 4$
$8 \cdot DE = 48$
$DE = \frac{48}{8} = 6$ см.

Ответ: BD = 5 см, DE = 6 см.

в)

Дано: $AB : BD = 2:1$, $DE = 12$ см.
Из отношения $AB : BD = 2:1$ следует, что $AB = 2 \cdot BD$.
Выразим длину стороны $AD$ через $BD$:
$AD = AB + BD = 2 \cdot BD + BD = 3 \cdot BD$.
Теперь найдем отношение сторон $AB$ к $AD$:
$\frac{AB}{AD} = \frac{2 \cdot BD}{3 \cdot BD} = \frac{2}{3}$.
Это отношение равно отношению других соответственных сторон, в частности $\frac{BC}{DE}$.

$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD} = \frac{2}{3}$

Подставим известное значение $DE = 12$ см:

$\frac{BC}{12} = \frac{2}{3}$

Найдем $BC$:

$3 \cdot BC = 12 \cdot 2$

$3 \cdot BC = 24$

$BC = \frac{24}{3} = 8$ см.

Ответ: 8 см.