Номер 554, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 554, страница 144.

Условие.

554 □ Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке M. Найдите расстояния от точки M до концов меньшего основания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. По условию, меньшее основание BC = 5 см, большее основание AD = 8 см. Боковые стороны AB = 3,6 см и CD = 3,9 см. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке M. Необходимо найти длины отрезков MB и MC, которые и являются искомыми расстояниями от точки M до концов меньшего основания.

Рассмотрим треугольники ΔMBC и ΔMAD. Так как в трапеции основания параллельны (BC || AD), то эти треугольники подобны. Угол при вершине M у них общий, а углы при основаниях (например, ∠MBC и ∠MAD) равны как соответственные при параллельных прямых BC, AD и секущей AM.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$:
$ k = \frac{MB}{MA} = \frac{MC}{MD} = \frac{BC}{AD} $

Подставив длины оснований, найдем этот коэффициент:
$ k = \frac{5}{8} $

Длины сторон MA и MD большего треугольника можно выразить через искомые отрезки и известные длины боковых сторон трапеции:
$ MA = MB + AB = MB + 3,6 $
$ MD = MC + CD = MC + 3,9 $

Теперь составим и решим уравнения, используя полученные соотношения.
1) Найдем длину отрезка MB:
$ \frac{MB}{MA} = \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{MB}{MB + 3,6} = \frac{5}{8} $
Используя основное свойство пропорции, получаем:
$ 8 \cdot MB = 5 \cdot (MB + 3,6) $
$ 8 \cdot MB = 5 \cdot MB + 18 $
$ 3 \cdot MB = 18 $
$ MB = \frac{18}{3} = 6 $ см.

2) Найдем длину отрезка MC:
$ \frac{MC}{MD} = \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{MC}{MC + 3,9} = \frac{5}{8} $
$ 8 \cdot MC = 5 \cdot (MC + 3,9) $
$ 8 \cdot MC = 5 \cdot MC + 19,5 $
$ 3 \cdot MC = 19,5 $
$ MC = \frac{19,5}{3} = 6,5 $ см.

Ответ: 6 см и 6,5 см.