Номер 551, страница 143 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 551, страница 143.

Условие.

551 На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E$. Прямые $AE$ и $BC$ пересекаются в точке $F$. Найдите:

а) $EF$ и $FC$, если $DE = 8$ см, $EC = 4$ см, $BC = 7$ см, $AE = 10$ см;

б) $DE$ и $EC$, если $AB = 8$ см, $AD = 5$ см, $CF = 2$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$.

Рассмотрим треугольники $ΔADE$ и $ΔFCE$. Точка $F$ является точкой пересечения прямых $AE$ и $BC$.

1. $AD \parallel BC$, а так как точка $F$ лежит на прямой $BC$, то $AD \parallel FC$.
2. Углы $∠AED$ и $∠FEC$ равны как вертикальные углы.
3. Углы $∠DAE$ и $∠CFE$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $FC$ и секущей $AF$.

Таким образом, треугольники $ΔADE$ и $ΔFCE$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AD}{FC} = \frac{DE}{EC} = \frac{AE}{FE}$

Теперь решим задачи для каждого пункта.

а)

Дано: $DE = 8$ см, $EC = 4$ см, $BC = 7$ см, $AE = 10$ см.

Из свойств параллелограмма известно, что $AD = BC = 7$ см.

Подставим известные значения в полученную ранее пропорцию:

$\frac{7}{FC} = \frac{8}{4} = \frac{10}{FE}$

Из соотношения $\frac{8}{4} = \frac{10}{FE}$ найдем $FE$:

$2 = \frac{10}{FE}$
$FE = \frac{10}{2} = 5$ см.

Из соотношения $\frac{7}{FC} = \frac{8}{4}$ найдем $FC$:

$\frac{7}{FC} = 2$
$FC = \frac{7}{2} = 3,5$ см.

Ответ: $EF = 5$ см, $FC = 3,5$ см.

б)

Дано: $AB = 8$ см, $AD = 5$ см, $CF = 2$ см.

Из свойств параллелограмма известно, что $CD = AB = 8$ см.

Воспользуемся пропорцией для подобных треугольников $ΔADE$ и $ΔFCE$:

$\frac{AD}{FC} = \frac{DE}{EC}$

Подставим известные значения:

$\frac{5}{2} = \frac{DE}{EC}$

Из этого соотношения выразим $DE$ через $EC$:

$DE = \frac{5}{2} \cdot EC = 2,5 \cdot EC$

Точка $E$ лежит на стороне $CD$, поэтому $DE + EC = CD$. Подставим $CD = 8$ см:

$DE + EC = 8$

Теперь подставим выражение для $DE$ в это равенство:

$2,5 \cdot EC + EC = 8$
$3,5 \cdot EC = 8$
$EC = \frac{8}{3,5} = \frac{8}{7/2} = \frac{16}{7}$ см.

Найдем $DE$:

$DE = 2,5 \cdot EC = \frac{5}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{5 \cdot 8}{7} = \frac{40}{7}$ см.

Ответ: $DE = \frac{40}{7}$ см, $EC = \frac{16}{7}$ см.