Номер 545, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 1. Определение подобных треугольников - номер 545, страница 140.

Условие.

545 Треугольники $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ подобны, и их сходственные стороны относятся как $6:5$. Площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $A_1 B_1 C_1$ на $77 \text{ см}^2$. Найдите площади треугольников.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $S_{ABC}$ и $S_{A_1B_1C_1}$ — площади треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно.

По условию, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их сходственных сторон, то есть $k = \frac{6}{5}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} $$

Из этого соотношения можно выразить площадь одного треугольника через другой: $$ S_{ABC} = \frac{36}{25} S_{A_1B_1C_1} $$

Также из условия известно, что площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $A_1B_1C_1$ на $77 \text{ см}^2$. Запишем это в виде уравнения: $$ S_{ABC} - S_{A_1B_1C_1} = 77 $$

Подставим в это уравнение выражение для $S_{ABC}$, которое мы получили ранее: $$ \frac{36}{25} S_{A_1B_1C_1} - S_{A_1B_1C_1} = 77 $$

Вынесем $S_{A_1B_1C_1}$ за скобки и решим уравнение: $$ S_{A_1B_1C_1} \left(\frac{36}{25} - 1\right) = 77 $$ $$ S_{A_1B_1C_1} \left(\frac{36-25}{25}\right) = 77 $$ $$ S_{A_1B_1C_1} \cdot \frac{11}{25} = 77 $$ $$ S_{A_1B_1C_1} = 77 \cdot \frac{25}{11} $$ $$ S_{A_1B_1C_1} = 7 \cdot 25 = 175 \text{ см}^2 $$

Теперь, зная площадь меньшего треугольника, найдем площадь большего: $$ S_{ABC} = S_{A_1B_1C_1} + 77 = 175 + 77 = 252 \text{ см}^2 $$

Ответ: площадь треугольника $ABC$ составляет $252 \text{ см}^2$, а площадь треугольника $A_1B_1C_1$ — $175 \text{ см}^2$.