Номер 541, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 1. Определение подобных треугольников - номер 541, страница 140.

Условие.

541 Подобны ли треугольники ABC и DEF, если $\angle A = 106^\circ$, $\angle B = 34^\circ$, $\angle E = 106^\circ$, $\angle F = 40^\circ$, $AC = 4,4 \text{ см}$, $AB = 5,2 \text{ см}$, $BC = 7,6 \text{ см}$, $DE = 15,6 \text{ см}$, $DF = 22,8 \text{ см}$, $EF = 13,2 \text{ см}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $DEF$, необходимо проверить выполнение одного из признаков подобия треугольников. Мы можем проверить равенство углов или пропорциональность сторон.

1. Проверка по углам.

Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. Найдем неизвестные углы в каждом треугольнике, используя теорему о сумме углов треугольника ($180^\circ$).

Для треугольника $ABC$:

Известно, что $\angle A = 106^\circ$ и $\angle B = 34^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (106^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Углы треугольника $ABC$: $106^\circ, 34^\circ, 40^\circ$.

Для треугольника $DEF$:

Известно, что $\angle E = 106^\circ$ и $\angle F = 40^\circ$.

$\angle D = 180^\circ - (\angle E + \angle F) = 180^\circ - (106^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$.

Углы треугольника $DEF$: $34^\circ, 106^\circ, 40^\circ$.

Сравнивая углы, мы видим, что у обоих треугольников одинаковый набор углов. Установим соответствие между равными углами:

$\angle A = 106^\circ = \angle E$

$\angle B = 34^\circ = \angle D$

$\angle C = 40^\circ = \angle F$

Поскольку все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого, треугольники подобны по первому признаку подобия (по трем углам). Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle EDF$.

2. Проверка по сторонам.

Чтобы подтвердить подобие, проверим пропорциональность соответственных сторон. Соответственные стороны лежат напротив равных углов.

• Сторона $AB$ (напротив $\angle C = 40^\circ$) соответствует стороне $DE$ (напротив $\angle F = 40^\circ$).
• Сторона $BC$ (напротив $\angle A = 106^\circ$) соответствует стороне $DF$ (напротив $\angle E = 106^\circ$).
• Сторона $AC$ (напротив $\angle B = 34^\circ$) соответствует стороне $EF$ (напротив $\angle D = 34^\circ$).

Найдем отношения длин этих сторон:

$\frac{DE}{AB} = \frac{15,6}{5,2} = 3$

$\frac{DF}{BC} = \frac{22,8}{7,6} = 3$

$\frac{EF}{AC} = \frac{13,2}{4,4} = 3$

Все отношения равны 3. Это означает, что стороны треугольников пропорциональны с коэффициентом подобия $k=3$. Это также подтверждает, что треугольники подобны (по третьему признаку подобия).

Ответ: Да, треугольники $ABC$ и $DEF$ подобны.