Номер 535, страница 139 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 1. Определение подобных треугольников - номер 535, страница 139.

Условие.

535 Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Решение

Пусть $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Докажем, что $\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}$ (рис. 190). Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общую высоту $AH$, поэтому $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD}$. С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу ($\angle 1 = \angle 2$), поэтому $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD} = \frac{AB}{AC}$. Из двух равенств для отношения площадей получаем $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$, или $\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}$, что и требовалось доказать.

Рис. 190

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.