Номер 535, страница 139 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 1. Определение подобных треугольников - номер 535, страница 139.

Условие.

535 Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Решение

Пусть $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Докажем, что $\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}$ (рис. 190). Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общую высоту $AH$, поэтому $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD}$. С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу ($\angle 1 = \angle 2$), поэтому $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD} = \frac{AB}{AC}$. Из двух равенств для отношения площадей получаем $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$, или $\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}$, что и требовалось доказать.

Рис. 190

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Пусть в треугольнике $ABC$ проведенa биссектриса $AD$ угла $A$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Нам необходимо доказать, что биссектриса делит противолежащую сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $CD$, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $AC$. Иными словами, нужно доказать справедливость следующего равенства: $ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $.

Доказательство основано на сравнении площадей треугольников $ABD$ и $ACD$, на которые биссектриса $AD$ разбивает исходный треугольник $ABC$. Мы выразим отношение их площадей двумя различными способами.

1. Отношение площадей через основания и общую высоту.
Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. У них есть общая вершина $A$, а их основания $BD$ и $CD$ лежат на одной прямой $BC$. Это означает, что оба треугольника имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $BC$. Обозначим эту высоту как $AH$.
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Тогда площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны:
$ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH $
$ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH $
Найдем отношение этих площадей. Общий множитель $\frac{1}{2}AH$ сокращается: $ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH} = \frac{BD}{CD} $.

2. Отношение площадей через стороны и угол между ними.
Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Поскольку $AD$ — биссектриса, она делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD$. Обозначим эти равные углы как $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно ($\angle 1 = \angle 2$).
Применим эту формулу для вычисления площадей треугольников $ABD$ и $ACD$:
$ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle 1) $
$ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle 2) $
Теперь найдем отношение этих площадей: $ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle 1)}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle 2)} $.
Так как $\angle 1 = \angle 2$, то и их синусы равны: $\sin(\angle 1) = \sin(\angle 2)$. Сократив в дроби общие множители $(\frac{1}{2}, AD, \sin(\angle 1))$, получим: $ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC} $.

3. Завершение доказательства.
Мы получили два разных выражения для одного и того же отношения площадей $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}$. Приравнивая правые части полученных равенств, приходим к искомой пропорции: $ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $.
Это и доказывает, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Ответ: Доказательство построено на методе площадей. Рассматриваются два треугольника $ABD$ и $ACD$, образованные биссектрисой $AD$. Отношение их площадей выражается двумя способами. Во-первых, через общую высоту $AH$ и основания $BD$ и $CD$: $ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD} $. Во-вторых, через две стороны и угол между ними, используя тот факт, что биссектриса делит угол пополам ($\angle BAD = \angle CAD$): $ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC} $. Приравнивая полученные выражения для отношения площадей, получаем требуемое утверждение: $ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $.