Номер 528, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 528, страница 136.

Условие.

528 В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если боковая сторона $CD$ трапеции равна 12 см, а расстояние от точки $O$ до прямой $CD$ равно 5 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в трапеции $ABCD$ сторона $CD$ является боковой стороной. Это означает, что основаниями трапеции являются стороны $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

В любой трапеции площади треугольников, образованных пересечением диагоналей и прилежащих к боковым сторонам, равны. В нашем случае это означает, что площадь треугольника $AOB$ равна площади треугольника $COD$. Докажем это.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$. У них общее основание $BC$, а высоты, проведенные из вершин $A$ и $D$ к прямой $BC$, равны высоте трапеции, так как $AD \parallel BC$. Следовательно, площади этих треугольников равны:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle DBC}$

Площадь треугольника $ABC$ складывается из площадей треугольников $AOB$ и $BOC$:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC}$

Аналогично, площадь треугольника $DBC$ складывается из площадей треугольников $COD$ и $BOC$:

$S_{\triangle DBC} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle BOC}$

Поскольку $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle DBC}$, мы можем приравнять правые части выражений:

$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle BOC}$

Вычитая $S_{\triangle BOC}$ из обеих частей равенства, получаем:

$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$

Теперь, чтобы найти искомую площадь треугольника $AOB$, нам достаточно найти площадь треугольника $COD$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — сторона треугольника, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

По условию задачи, длина боковой стороны $CD$ равна $12 \text{ см}$. Расстояние от точки $O$ до прямой $CD$ является высотой треугольника $COD$, проведенной к стороне $CD$. Эта высота равна $5 \text{ см}$.

Найдем площадь треугольника $COD$:

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 30 \text{ см}^2$

Так как $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$, то площадь треугольника $AOB$ также равна $30 \text{ см}^2$.

Ответ: $30 \text{ см}^2$.