Номер 521, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 521, страница 135.

Условие.

521 Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то $AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию задачи, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Это означает, что все углы при их пересечении в точке $O$ являются прямыми: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Таким образом, диагонали разбивают четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Применим теорему Пифагора для каждого из этих треугольников. Квадрат гипотенузы (стороны четырёхугольника) равен сумме квадратов катетов (отрезков диагоналей):

• Для $\triangle AOB$: $AB^2 = AO^2 + BO^2$
• Для $\triangle BOC$: $BC^2 = BO^2 + CO^2$
• Для $\triangle COD$: $CD^2 = CO^2 + DO^2$
• Для $\triangle DOA$: $AD^2 = AO^2 + DO^2$

Теперь рассмотрим левую и правую части доказываемого равенства $AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2$ и подставим в них полученные выражения.

Выразим сумму квадратов противоположных сторон $AD^2 + BC^2$:

$AD^2 + BC^2 = (AO^2 + DO^2) + (BO^2 + CO^2)$

Выразим сумму квадратов другой пары противоположных сторон $AB^2 + CD^2$:

$AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)$

Сгруппируем слагаемые в обоих выражениях:

$AD^2 + BC^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$

$AB^2 + CD^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$

Так как правые части этих равенств идентичны, то и левые их части равны между собой.

Следовательно, $AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.