Номер 523, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 523, страница 135.

Условие.

523 Два квадрата со стороной $a$ имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть общая вершина двух квадратов находится в начале координат, точке $A(0, 0)$.

1. Определение координат вершин

Пусть первый квадрат, назовем его $S_1$, расположен в первом квадранте так, что две его стороны лежат на осях координат. Его вершины будут иметь координаты: $A(0, 0)$, $B(a, 0)$, $C(a, a)$ и $D(0, a)$. Диагональ этого квадрата, выходящая из общей вершины $A$, лежит на прямой $y=x$. Длина этой диагонали равна $a\sqrt{2}$.

Второй квадрат, $S_2$, также имеет вершину в точке $A(0, 0)$. По условию, одна из его сторон лежит на диагонали квадрата $S_1$. Пусть это сторона $AE$. Тогда точка $E$ лежит на прямой $y=x$. Так как длина стороны квадрата $S_2$ равна $a$, то координаты точки $E$ можно найти из условия $AE = a$:
$\sqrt{x_E^2 + y_E^2} = a$, и так как $y_E = x_E$, получаем $\sqrt{x_E^2 + x_E^2} = a \Rightarrow \sqrt{2x_E^2} = a \Rightarrow x_E\sqrt{2} = a$.
Отсюда $x_E = y_E = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Итак, вершина $E(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}})$.

Другая сторона квадрата $S_2$, выходящая из вершины $A$, должна быть перпендикулярна стороне $AE$. Прямая, содержащая $AE$, имеет уравнение $y=x$. Перпендикулярная ей прямая, проходящая через начало координат, имеет уравнение $y=-x$. Пусть на ней лежит вершина $G$. Аналогично, ее координаты будут $G(\frac{a}{\sqrt{2}}, -\frac{a}{\sqrt{2}})$.

Четвертая вершина квадрата $S_2$, назовем ее $F$, может быть найдена как векторная сумма $\vec{AF} = \vec{AE} + \vec{AG}$. Ее координаты: $F(\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}) = F(a\sqrt{2}, 0)$.

Таким образом, вершины квадрата $S_2$ имеют координаты: $A(0,0)$, $E(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}})$, $F(a\sqrt{2}, 0)$ и $G(\frac{a}{\sqrt{2}}, -\frac{a}{\sqrt{2}})$.

2. Нахождение площади общей части

Площадь общей части (пересечения) квадратов можно найти, вычев из площади квадрата $S_2$ площадь тех его частей, которые лежат вне квадрата $S_1$. Квадрат $S_1$ ограничен линиями $x=0$, $y=0$, $x=a$, $y=a$. Части $S_2$ лежат вне $S_1$ там, где $x>a$ или $y<0$ (так как максимальная координата $y$ у вершин $S_2$ равна $\frac{a}{\sqrt{2}} < a$, то условия $y>a$ быть не может).

а) Площадь части $S_2$, где $y<0$. Эта часть представляет собой треугольник $AGF'$, где $F'$ - это проекция $F$ на ось x, то есть сама точка F. Нет, это треугольник $AGF_x$, где $F_x$ - точка на оси x. Вершины этого треугольника: $A(0,0)$, $G(\frac{a}{\sqrt{2}}, -\frac{a}{\sqrt{2}})$ и $F(a\sqrt{2}, 0)$. Площадь этого треугольника ($S_{y<0}$) можно найти, взяв отрезок $AF$ на оси $x$ в качестве основания. Длина основания $AF = a\sqrt{2}$. Высота треугольника - это абсолютное значение координаты $y$ точки $G$, то есть $\frac{a}{\sqrt{2}}$. $S_{y<0} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2}$.

б) Площадь части $S_2$, где $x>a$. Эта часть представляет собой треугольник, отсекаемый от $S_2$ прямой $x=a$. Его вершины: $F(a\sqrt{2}, 0)$, и точки пересечения сторон $EF$ и $GF$ с прямой $x=a$. Уравнение прямой $EF$: проходит через $E(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}})$ и $F(a\sqrt{2}, 0)$. Уравнение: $y-0 = \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}-0}{\frac{a}{\sqrt{2}}-a\sqrt{2}}(x-a\sqrt{2}) \Rightarrow y = -x+a\sqrt{2}$. Уравнение прямой $GF$: проходит через $G(\frac{a}{\sqrt{2}}, -\frac{a}{\sqrt{2}})$ и $F(a\sqrt{2}, 0)$. Уравнение: $y=x-a\sqrt{2}$. Пересечение $EF$ с $x=a$: $y = -a+a\sqrt{2} = a(\sqrt{2}-1)$. Точка $P(a, a(\sqrt{2}-1))$. Пересечение $GF$ с $x=a$: $y = a-a\sqrt{2} = -a(\sqrt{2}-1)$. Точка $Q(a, -a(\sqrt{2}-1))$. Площадь треугольника $PFQ$ ($S_{x>a}$): основание $PQ$ лежит на прямой $x=a$, его длина $a(\sqrt{2}-1) - (-a(\sqrt{2}-1)) = 2a(\sqrt{2}-1)$. Высота - расстояние от прямой $x=a$ до точки $F(a\sqrt{2}, 0)$, т.е. $a\sqrt{2}-a = a(\sqrt{2}-1)$. $S_{x>a} = \frac{1}{2} \cdot 2a(\sqrt{2}-1) \cdot a(\sqrt{2}-1) = a^2(\sqrt{2}-1)^2 = a^2(2 - 2\sqrt{2} + 1) = a^2(3-2\sqrt{2})$.

в) Площадь пересечения областей, лежащих вне $S_1$. Области $y<0$ и $x>a$ пересекаются. Площадь их пересечения ($S_{перес}$) - это площадь треугольника с вершинами $(a,0)$, $F(a\sqrt{2},0)$ и $Q(a, -a(\sqrt{2}-1))$. Основание на прямой $x=a$ имеет длину $|-a(\sqrt{2}-1)| = a(\sqrt{2}-1)$. Высота равна $a\sqrt{2}-a = a(\sqrt{2}-1)$. $S_{перес} = \frac{1}{2} \cdot a(\sqrt{2}-1) \cdot a(\sqrt{2}-1) = \frac{1}{2}a^2(\sqrt{2}-1)^2 = \frac{a^2}{2}(3-2\sqrt{2})$.

г) Вычисление итоговой площади. Общая площадь части $S_2$ вне $S_1$ ($S_{вне}$) находится по формуле включений-исключений: $S_{вне} = S_{y<0} + S_{x>a} - S_{перес}$ $S_{вне} = \frac{a^2}{2} + a^2(3-2\sqrt{2}) - \frac{a^2}{2}(3-2\sqrt{2}) = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}(3-2\sqrt{2}) = \frac{a^2}{2}(1 + 3-2\sqrt{2}) = \frac{a^2}{2}(4-2\sqrt{2}) = a^2(2-\sqrt{2})$. Площадь общей части $S_{общ}$ равна площади квадрата $S_2$ минус площадь части $S_2$, лежащей вне $S_1$: $S_{общ} = S_2 - S_{вне} = a^2 - a^2(2-\sqrt{2}) = a^2 - 2a^2 + a^2\sqrt{2} = a^2\sqrt{2} - a^2 = a^2(\sqrt{2}-1)$.

Ответ: $a^2(\sqrt{2}-1)$