Номер 519, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 519, страница 135.

Условие.

519 Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна $h$, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, высотой $h$. Диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, ее диагонали равны ($AC = BD$). Треугольники, образованные пересечением диагоналей и оснований ($\triangle AOD$ и $\triangle BOC$), являются равнобедренными ($OA=OD$, $OB=OC$).

По условию диагонали перпендикулярны, то есть $\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведем через точку $O$ высоту трапеции $KL$, где точка $K$ лежит на основании $BC$, а точка $L$ — на основании $AD$. Длина отрезка $KL$ равна высоте трапеции $h$.

Отрезок $OK$ является высотой в равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle BOC$, проведенной к гипотенузе $BC$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой. Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом, $OK = \frac{BC}{2}$.

Аналогично, отрезок $OL$ является высотой в равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle AOD$, проведенной к гипотенузе $AD$. Следовательно, $OL = \frac{AD}{2}$.

Высота трапеции $h$ равна сумме длин отрезков $OK$ и $OL$:

$h = KL = OK + OL = \frac{BC}{2} + \frac{AD}{2} = \frac{AD + BC}{2}$

Мы получили, что средняя линия трапеции ($\frac{AD + BC}{2}$) равна ее высоте. Теперь подставим это выражение в формулу для площади трапеции:

$S = \left(\frac{AD + BC}{2}\right) \cdot h = h \cdot h = h^2$

Таким образом, площадь трапеции равна квадрату ее высоты.

Ответ: $h^2$.