Номер 522, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 522, страница 135.

Условие.

522. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=17$ см, $BC=5$ см и боковой стороной $AB=10$ см через вершину $B$ проведена прямая, делящая диагональ $AC$ пополам и пересекающая основание $AD$ в точке $M$. Найдите площадь треугольника $BDM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведена прямая через вершину $B$, которая пересекает диагональ $AC$ в точке $O$ и основание $AD$ в точке $M$. По условию, точка $O$ является серединой диагонали $AC$, то есть $AO = OC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COB$.

1. $AO = OC$ по условию, так как прямая $BM$ делит диагональ $AC$ пополам.

2. Углы $\angle MAO$ и $\angle BCO$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ ($AD || BC$ как основания трапеции) и секущей $AC$.

3. Углы $\angle AOM$ и $\angle COB$ равны как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AOM = \triangle COB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AM = BC$.

По условию $BC = 5$ см, значит, $AM = 5$ см.

Теперь можем найти длину отрезка $DM$, который будет являться основанием для треугольника $BDM$.

$DM = AD - AM = 17 - 5 = 12$ см.

Для нахождения площади треугольника $BDM$ необходимо найти его высоту, проведенную из вершины $B$ к основанию $DM$. Эта высота совпадает с высотой трапеции $ABCD$. Обозначим высоту трапеции как $h$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $AH$, который высота отсекает от большего основания, находится по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = BH$:

$h^2 = AB^2 - AH^2$

$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь треугольника $BDM$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае основание – это $DM$, а высота – это $h$.

$S_{\triangle BDM} = \frac{1}{2} \cdot DM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Ответ: 48 см$^2$.