Номер 516, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 516, страница 135.

Условие.

516 В треугольнике $ABC$ $BC = 34$ см. Перпендикуляр $MN$, проведённый из середины $BC$ к прямой $AC$, делит сторону $AC$ на отрезки $AN=25$ см и $NC=15$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Дано: треугольник $ABC$, $BC = 34$ см. $M$ — середина стороны $BC$. $MN \perp AC$, где $N$ лежит на $AC$. $AN = 25$ см, $NC = 15$ см.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой, использующей две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin C$. В нашем случае это будет $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C$.

1. Найдем длину стороны $AC$. Она состоит из двух отрезков $AN$ и $NC$:

$AC = AN + NC = 25 + 15 = 40$ см.

2. Найдем синус угла $C$. Для этого рассмотрим треугольник $MNC$.

По условию, $M$ — середина стороны $BC$, значит:

$MC = \frac{BC}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см.

По условию, $MN$ перпендикулярен $AC$, следовательно, треугольник $MNC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $N$. В этом треугольнике $MC$ является гипотенузой, а $NC$ и $MN$ — катетами.

Найдем косинус угла $C$ из треугольника $MNC$ как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos C = \frac{NC}{MC} = \frac{15}{17}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$, найдем $\sin C$. Поскольку $C$ — угол в треугольнике, $\sin C > 0$.

$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{289 - 225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$

3. Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $ABC$.

Подставим известные значения в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 34 \cdot \frac{8}{17}$

Выполним вычисления:

$S_{ABC} = 20 \cdot 34 \cdot \frac{8}{17} = 20 \cdot (2 \cdot 17) \cdot \frac{8}{17} = 20 \cdot 2 \cdot 8 = 320$ см$^2$.

Ответ: 320 см$^2$.