Номер 509, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 509, страница 134.

Условие.

509 Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Это утверждение известно как теорема Вивиани. Докажем его, используя метод площадей.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Пусть $P$ — произвольная точка, лежащая внутри этого треугольника. Обозначим расстояния от точки $P$ до сторон $BC$, $AC$ и $AB$ как $h_1$, $h_2$ и $h_3$ соответственно. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Соединим точку $P$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Это действие разбивает исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $PBC$, $PCA$ и $PAB$. Площадь большого треугольника $S_{ABC}$ равна сумме площадей этих трех треугольников: $S_{ABC} = S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB}$.

Площадь каждого из этих малых треугольников можно выразить через сторону $a$ (которая является их основанием) и соответствующее расстояние ($h_1$, $h_2$ или $h_3$), которое является высотой для каждого из них.
$S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} a h_1$
$S_{PCA} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_2 = \frac{1}{2} a h_2$
$S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_3 = \frac{1}{2} a h_3$

Подставим эти выражения в формулу для площади большого треугольника и вынесем общий множитель $\frac{1}{2}a$ за скобки:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_3 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$.

С другой стороны, площадь равностороннего треугольника $ABC$ можно также вычислить, используя его сторону $a$ и высоту $H$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} a H$.

Теперь приравняем два полученных выражения для площади $S_{ABC}$:
$\frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3) = \frac{1}{2} a H$.

Сократив обе части уравнения на $\frac{1}{2}a$ (поскольку длина стороны $a$ не равна нулю), мы получим:
$h_1 + h_2 + h_3 = H$.

Это равенство показывает, что сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон равностороннего треугольника равна высоте этого треугольника. Так как высота $H$ для данного равностороннего треугольника является постоянной величиной (она зависит только от длины стороны треугольника), то и сумма расстояний $h_1 + h_2 + h_3$ также является постоянной величиной и не зависит от положения точки $P$ внутри треугольника, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон равна высоте этого треугольника. Поскольку высота является константой для данного треугольника, эта сумма не зависит от положения точки.