Номер 504, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 504, страница 134.

Условие.

504 Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором $AB = CD = 29$ см — меньшая сторона, а $AD = BC$ — большая сторона. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Из точки $O$ к большей стороне $AD$ проведен перпендикуляр $OH$, где $H$ — точка на стороне $AD$.

По условию, перпендикуляр $OH$ делит сторону $AD$ на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдем длину стороны $AD$:
$AD = 33 + 12 = 45$ см.

Площадь параллелограмма находится по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. Нам нужно найти высоту, проведенную к стороне $AD$. Обозначим ее $h_{AD}$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CK$ к прямой, содержащей сторону $AD$. Тогда $CK = h_{AD}$.

Рассмотрим треугольник $ACK$. Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то $O$ — середина диагонали $AC$. Поскольку $OH \perp AD$ и $CK \perp AD$, то прямые $OH$ и $CK$ параллельны ($OH \parallel CK$).

По теореме Фалеса, если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне. В нашем случае, так как $O$ — середина $AC$ и $OH \parallel CK$, то $H$ — середина отрезка $AK$. Следовательно, $AH = HK$.

Рассмотрим два возможных случая для расположения точки $H$:

• Случай 1: $AH = 33$ см и $HD = 12$ см.
  Так как $H$ — середина $AK$, то $AK = 2 \cdot AH = 2 \cdot 33 = 66$ см.
  Точка $K$ лежит на продолжении стороны $AD$ за точку $D$. Длина отрезка $DK$ равна:
  $DK = AK - AD = 66 - 45 = 21$ см.
• Случай 2: $AH = 12$ см и $HD = 33$ см.
  Так как $H$ — середина $AK$, то $AK = 2 \cdot AH = 2 \cdot 12 = 24$ см.
  В этом случае точка $K$ лежит на стороне $AD$. Длина отрезка $DK$ равна:
  $DK = AD - AK = 45 - 24 = 21$ см.

В обоих случаях мы получили, что $DK = 21$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$. Гипотенуза $CD$ равна меньшей стороне параллелограмма, то есть $CD = 29$ см. Катет $DK = 21$ см. Найдем второй катет $CK$ (высоту параллелограмма) по теореме Пифагора:
$CD^2 = CK^2 + DK^2$
$29^2 = CK^2 + 21^2$
$841 = CK^2 + 441$
$CK^2 = 841 - 441 = 400$
$CK = \sqrt{400} = 20$ см.

Таким образом, высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна 20 см. Теперь можем найти площадь параллелограмма:
$S_{ABCD} = AD \cdot CK = 45 \cdot 20 = 900$ см².

Ответ: 900 см².