Номер 12, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Вопросы к главе 6 - номер 12, страница 133.

Условие.

12 Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу.

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s = \frac{a+b+c}{2}$

Решение 4.

Решение 10.

Какая формула площади треугольника называется формулой Герона?

Формулой Герона называют формулу для вычисления площади произвольного треугольника, которая выражает площадь через длины трёх его сторон. Она особенно удобна, когда известны только стороны треугольника и нет информации о его углах или высотах.

Формула выглядит следующим образом:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Здесь $S$ — это площадь треугольника, $a, b, c$ — длины его сторон, а $p$ — это полупериметр треугольника, который вычисляется по формуле:
$p = \frac{a+b+c}{2}$

Ответ: Формула Герона — это формула для нахождения площади треугольника по трём его сторонам $a, b, c$: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Выведите эту формулу.

Вывод формулы Герона можно осуществить, используя теорему косинусов и формулу площади треугольника через синус угла между двумя сторонами.

1. Запишем формулу площади треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом $\gamma$ между ними:
$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

2. Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от синуса в дальнейшем:
$S^2 = \frac{1}{4}a^2b^2\sin^2\gamma$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\gamma = 1 - \cos^2\gamma$, получим:
$S^2 = \frac{1}{4}a^2b^2(1 - \cos^2\gamma) = \frac{1}{4}a^2b^2(1 - \cos\gamma)(1 + \cos\gamma)$

3. Согласно теореме косинусов, для стороны $c$, противолежащей углу $\gamma$, справедливо:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$
Выразим из этой формулы $\cos\gamma$:
$\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

4. Подставим выражение для $\cos\gamma$ в формулу для $S^2$:
$S^2 = \frac{1}{4}a^2b^2 \left(1 - \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) \left(1 + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$
Приведём выражения в скобках к общему знаменателю:
$S^2 = \frac{1}{4}a^2b^2 \left(\frac{2ab - (a^2+b^2-c^2)}{2ab}\right) \left(\frac{2ab + a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$
$S^2 = \frac{1}{4}a^2b^2 \frac{(2ab - a^2 - b^2 + c^2)(2ab + a^2 + b^2 - c^2)}{4a^2b^2}$
Сократим $a^2b^2$:
$S^2 = \frac{1}{16} (c^2 - (a^2 - 2ab + b^2))((a^2 + 2ab + b^2) - c^2)$
$S^2 = \frac{1}{16} (c^2 - (a-b)^2)((a+b)^2 - c^2)$

5. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к каждой скобке:
$S^2 = \frac{1}{16} (c - (a-b))(c + (a-b))((a+b) - c)((a+b) + c)$
$S^2 = \frac{1}{16} (c - a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c)$

6. Введём полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $2p = a+b+c$. Выразим каждую скобку через $p$:
$a+b+c = 2p$
$a+b-c = (a+b+c) - 2c = 2p - 2c = 2(p-c)$
$a+c-b = (a+b+c) - 2b = 2p - 2b = 2(p-b)$
$b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$

7. Подставим полученные выражения в формулу для $S^2$:
$S^2 = \frac{1}{16} \cdot 2(p-a) \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2p$
$S^2 = \frac{1}{16} \cdot 16 \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)$
$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$

8. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем формулу Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Ответ: Формула Герона выводится из формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ и теоремы косинусов. Путём алгебраических преобразований с использованием основного тригонометрического тождества и введения понятия полупериметра $p$, мы приходим к итоговому виду: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.