Номер 500, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 500, страница 134.

Условие.

500 Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим длину его равных катетов как $a$.

Площадь квадрата, построенного на катете, обозначим $S_{катет}$. Эта площадь равна квадрату длины катета:

$S_{катет} = a^2$

Теперь найдем высоту, проведенную к гипотенузе. Для этого сначала определим длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$c = a\sqrt{2}$

Обозначим высоту, проведенную к гипотенузе, как $h$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию (в данном случае к гипотенузе), является также и медианой. В свою очередь, в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом:

$h = \frac{c}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Площадь квадрата, построенного на этой высоте, обозначим $S_{высота}$. Эта площадь равна квадрату длины высоты:

$S_{высота} = h^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Наконец, сравним площади двух квадратов, найдя их отношение:

$\frac{S_{катет}}{S_{высота}} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{2}} = 2$

Следовательно, $S_{катет} = 2 \cdot S_{высота}$. Это доказывает, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Ответ: Утверждение доказано.