Номер 7, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Вопросы к главе 6 - номер 7, страница 133.

Условие.

7 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих эти равные углы.

Для двух треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\angle A = \angle A_1$, справедливо равенство:

$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$

Ответ: Отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу, равно отношению произведений сторон, заключающих эти равные углы.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть у них есть по равному углу: $\angle A = \angle A_1$.

Известна формула площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ – стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

Применим эту формулу для нахождения площадей наших треугольников:

Площадь треугольника $\triangle ABC$ равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.

Площадь треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ равна: $S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)$.

Теперь найдем отношение их площадей, разделив одно выражение на другое:

$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)}$

Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то и их синусы равны: $\sin(\angle A) = \sin(\angle A_1)$.

Сократим дробь на общий множитель $\frac{1}{2}$ и на равные синусы $\sin(\angle A)$ и $\sin(\angle A_1)$. Получим:

$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$

Теорема доказана.

Ответ: Доказательство основано на формуле площади треугольника $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ и последующем составлении и сокращении отношения площадей, что приводит к искомому результату: $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.