Номер 499, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 499, страница 133.

Условие.

499 Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными:

а) 24 см, 25 см, 7 см;

б) 15 см, 17 см, 8 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Даны стороны треугольника: 24 см, 25 см, 7 см.

Меньшая высота в треугольнике всегда проведена к его наибольшей стороне. В данном случае наибольшая сторона равна 25 см.

Для нахождения высоты необходимо знать площадь треугольника. Сначала проверим, является ли данный треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$25^2 = 625$

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

Так как $25^2 = 7^2 + 24^2$, треугольник является прямоугольным. Стороны 7 см и 24 см – это катеты, а сторона 25 см – гипотенуза.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$ см$^2$.

Площадь треугольника также можно выразить через высоту $h$ и сторону $a$, к которой она проведена: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Меньшая высота $h_{min}$ проведена к наибольшей стороне (гипотенузе), равной 25 см.

$h_{min} = \frac{2S}{a_{max}} = \frac{2 \cdot 84}{25} = \frac{168}{25} = 6,72$ см.

Ответ: 6,72 см.

б)

Даны стороны треугольника: 15 см, 17 см, 8 см.

Меньшая высота в треугольнике проведена к его наибольшей стороне. В данном случае наибольшая сторона равна 17 см.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным:

$17^2 = 289$

$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

Так как $17^2 = 8^2 + 15^2$, треугольник является прямоугольным. Стороны 8 см и 15 см – это катеты, а сторона 17 см – гипотенуза.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см$^2$.

Меньшая высота $h_{min}$ проведена к наибольшей стороне (гипотенузе), равной 17 см. Найдем ее из формулы площади:

$h_{min} = \frac{2S}{a_{max}} = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17}$ см.

Ответ: $\frac{120}{17}$ см.