Номер 492, страница 132 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 492, страница 132.

Условие.

492 Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Данный треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см является равнобедренным, так как две его стороны равны. Обозначим боковые стороны как $a = b = 10$ см, а основание $c = 12$ см. Необходимо найти три высоты треугольника: $h_a, h_b, h_c$. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на равные боковые стороны, также равны, поэтому $h_a = h_b$. Таким образом, нам нужно найти две уникальные высоты.

Высота, проведенная к основанию (стороне 12 см)

Высота $h_c$, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой. Она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. Эта высота образует два прямоугольных треугольника, в которых гипотенуза — это боковая сторона ($10$ см), один катет — половина основания ($6$ см), а второй катет — искомая высота $h_c$. По теореме Пифагора найдем $h_c$:

$h_c^2 + 6^2 = 10^2$

$h_c^2 + 36 = 100$

$h_c^2 = 100 - 36 = 64$

$h_c = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: высота, проведенная к стороне 12 см, равна 8 см.

Высоты, проведенные к боковым сторонам (сторонам по 10 см)

Для нахождения высот $h_a$ и $h_b$ воспользуемся методом площадей. Сначала найдем площадь треугольника $S$, используя основание $c$ и уже найденную высоту $h_c$:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

С другой стороны, площадь можно выразить через сторону $a$ и высоту $h_a$, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. Выразим отсюда высоту $h_a$:

$h_a = \frac{2S}{a}$

Подставим известные значения:

$h_a = \frac{2 \cdot 48}{10} = \frac{96}{10} = 9,6$ см.

Так как $h_a = h_b$, то обе высоты, проведенные к боковым сторонам, равны 9,6 см.

Ответ: высоты, проведенные к сторонам по 10 см, равны 9,6 см.