Номер 489, страница 132 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 489, страница 132.

Условие.

489 Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ — сторона треугольника.

Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна:

а) 5 см;

б) 1,2 см;

в) $2\sqrt{2}$ дм.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство формулы площади равностороннего треугольника.

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь любого треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В равностороннем треугольнике все стороны равны $a$. Проведем высоту $h$ к одной из сторон (основанию). В равностороннем треугольнике высота является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$. Высота образует два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза равна стороне исходного треугольника $a$, один катет равен половине основания, то есть $\frac{a}{2}$, а второй катет — это высота $h$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

Выразим из этого уравнения высоту $h$: $h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Так как длина высоты является положительной величиной, извлекаем квадратный корень: $h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим найденное значение высоты $h$ в формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Таким образом, формула $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ доказана.

Нахождение площади для заданных сторон.

а) Дано $a = 5$ см. Подставляем значение в формулу:
$S = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$.
Ответ: $\frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$.

б) Дано $a = 1,2$ см. Подставляем значение в формулу:
$S = \frac{(1,2)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1,44\sqrt{3}}{4} = 0,36\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Ответ: $0,36\sqrt{3} \text{ см}^2$.

в) Дано $a = 2\sqrt{2}$ дм. Подставляем значение в формулу:
$S = \frac{(2\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 2)\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$.
Ответ: $2\sqrt{3} \text{ дм}^2$.