Номер 486, страница 132 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 486, страница 132.

Условие.

486 В прямоугольнике $ABCD$ найдите:

а) $AD$, если $AB=5$, $AC=13$;

б) $BC$, если $CD=1,5$, $AC=2,5$;

в) $CD$, если $BD=17$, $BC=15$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

В прямоугольнике ABCD диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника. Например, диагональ AC делит прямоугольник на треугольники ABC и ADC, где углы B и D прямые. Для решения задачи будем использовать теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ($c^2 = a^2 + b^2$). В прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами и диагональю прямоугольника, стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

а)

Дано: прямоугольник ABCD, $AB = 5$, $AC = 13$.

Найти: AD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC, в котором угол D равен 90°. В этом треугольнике AC — гипотенуза, а AD и CD — катеты. В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно, $CD = AB = 5$.

Применим теорему Пифагора: $AC^2 = AD^2 + CD^2$.

Выразим AD:

$AD^2 = AC^2 - CD^2$

Подставим известные значения:

$AD^2 = 13^2 - 5^2$

$AD^2 = 169 - 25$

$AD^2 = 144$

$AD = \sqrt{144} = 12$

Ответ: 12.

б)

Дано: прямоугольник ABCD, $CD = 1,5$, $AC = 2,5$.

Найти: BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол B равен 90°. В этом треугольнике AC — гипотенуза, а AB и BC — катеты. В прямоугольнике $AB = CD = 1,5$.

По теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Выразим BC:

$BC^2 = AC^2 - AB^2$

Подставим известные значения:

$BC^2 = 2,5^2 - 1,5^2$

$BC^2 = 6,25 - 2,25$

$BC^2 = 4$

$BC = \sqrt{4} = 2$

Ответ: 2.

в)

Дано: прямоугольник ABCD, $BD = 17$, $BC = 15$.

Найти: CD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD, в котором угол C равен 90°. В этом треугольнике BD — гипотенуза, а BC и CD — катеты.

По теореме Пифагора: $BD^2 = BC^2 + CD^2$.

Выразим CD:

$CD^2 = BD^2 - BC^2$

Подставим известные значения:

$CD^2 = 17^2 - 15^2$

$CD^2 = 289 - 225$

$CD^2 = 64$

$CD = \sqrt{64} = 8$

Ответ: 8.