Номер 479, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 479, страница 127.

Условие.

479 Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Найдите:

а) $S_{ADE}$, если $AB = 5$ см, $AC = 6$ см, $AD = 3$ см, $AE = 2$ см, $S_{ABC} = 10 \text{ см}^2$;

б) $AD$, если $AB = 8$ см, $AC = 3$ см, $AE = 2$ см, $S_{ABC} = 10 \text{ см}^2$, $S_{ADE} = 2 \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Площадь треугольника $ABC$ может быть выражена через общий для обоих треугольников угол $A$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A$.

Аналогично, площадь треугольника $ADE$ выражается через тот же угол $A$: $S_{ADE} = \frac{1}{2} AD \cdot AE \cdot \sin A$.

Найдем отношение площадей этих двух треугольников, разделив одно уравнение на другое:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} AD \cdot AE \cdot \sin A}{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$

Эта формула показывает, что отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол. Используем эту формулу для решения обоих пунктов.

а)

По условию нам даны: $AB = 5$ см, $AC = 6$ см, $AD = 3$ см, $AE = 2$ см, $S_{ABC} = 10$ см². Необходимо найти $S_{ADE}$.

Подставим известные значения в выведенную формулу:

$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 6}$

$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{6}{30}$

Упростим дробь в правой части:

$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{1}{5}$

Отсюда выразим и найдем $S_{ADE}$:

$S_{ADE} = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2$ см².

Ответ: 2 см².

б)

По условию нам даны: $AB = 8$ см, $AC = 3$ см, $AE = 2$ см, $S_{ABC} = 10$ см², $S_{ADE} = 2$ см². Необходимо найти $AD$.

Подставим известные значения в ту же формулу отношения площадей:

$\frac{2}{10} = \frac{AD \cdot 2}{8 \cdot 3}$

Упростим левую и правую части уравнения:

$\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot AD}{24}$

$\frac{1}{5} = \frac{AD}{12}$

Выразим $AD$ из пропорции:

$AD = \frac{12 \cdot 1}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Ответ: 2,4 см.