Номер 476, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 476, страница 127.

Условие.

476 Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны:

а) 3,2 дм и 14 см;

б) 4,6 дм и 2 дм.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Сначала докажем, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Пусть дан ромб, длины диагоналей которого равны $d_1$ и $d_2$. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Диагонали разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей, то есть $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Таким образом, площадь одного из четырех треугольников, на которые диагонали делят ромб, равна: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 d_2}{8}$.
Площадь всего ромба равна сумме площадей этих четырех равных треугольников: $S_{ромба} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{d_1 d_2}{8} = \frac{d_1 d_2}{2}$.
Формула доказана.

Теперь, используя доказанную формулу $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, вычислим площадь ромба для заданных значений.

а) Даны диагонали $d_1 = 3,2$ дм и $d_2 = 14$ см.
Для вычисления площади необходимо привести длины к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры. Так как в 1 дм содержится 10 см, получаем: $d_1 = 3,2 \text{ дм} = 3,2 \cdot 10 \text{ см} = 32 \text{ см}$.
Теперь вычислим площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 32 \text{ см} \cdot 14 \text{ см} = 16 \text{ см} \cdot 14 \text{ см} = 224 \text{ см}^2$.
Ответ: $224 \text{ см}^2$.

б) Даны диагонали $d_1 = 4,6$ дм и $d_2 = 2$ дм.
Длины даны в одинаковых единицах измерения, поэтому можем сразу приступать к вычислению площади. $S = \frac{1}{2} \cdot 4,6 \text{ дм} \cdot 2 \text{ дм} = 4,6 \text{ дм}^2$.
Ответ: $4,6 \text{ дм}^2$.