Номер 475, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 475, страница 127.

Условие.

475 Начертите треугольник $ABC$. Через вершину $A$ проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы разделить треугольник $ABC$ на три треугольника с равными площадями при помощи двух прямых, проходящих через вершину $A$, необходимо, чтобы эти прямые пересекли противолежащую сторону $BC$ в точках, которые делят эту сторону на три равных отрезка.

Приведем обоснование этого утверждения. Пусть две прямые, проведенные из вершины $A$, пересекают сторону $BC$ в точках $D$ и $E$. Таким образом, исходный треугольник $ABC$ разделяется на три новых треугольника: $\triangle ABD$, $\triangle ADE$ и $\triangle AEC$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ на сторону $BC$. Эта высота будет общей для всех трех получившихся треугольников ($\triangle ABD$, $\triangle ADE$ и $\triangle AEC$), так как у них общая вершина $A$, а их основания ($BD$, $DE$ и $EC$) лежат на одной прямой.

Запишем площади этих трех треугольников, используя их основания и общую высоту $h = AH$:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h$

$S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h$

$S_{\triangle AEC} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot h$

Согласно условию задачи, площади этих треугольников должны быть равны между собой: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ADE} = S_{\triangle AEC}$.

Подставив в это равенство выражения для площадей, мы получим: $\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot h$.

Поскольку высота $h$ (для невырожденного треугольника) не равна нулю, мы можем сократить общий множитель $\frac{1}{2}h$ во всех частях равенства. В результате мы приходим к выводу, что основания этих треугольников должны быть равны:

$BD = DE = EC$

Таким образом, для решения задачи необходимо выполнить следующее построение:

1. Начертить треугольник $ABC$.

2. Разделить сторону $BC$ на три равных отрезка точками $D$ и $E$.

3. Соединить вершину $A$ с точками $D$ и $E$ прямыми (отрезками) $AD$ и $AE$.

Полученные прямые $AD$ и $AE$ разделят треугольник $ABC$ на три треугольника равной площади.

Ответ: Необходимо провести две прямые из вершины $A$ к таким точкам на стороне $BC$, которые делят эту сторону на три равных отрезка.