Номер 478, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 478, страница 127.

Условие.

478 В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O. По условию задачи диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Диагонали разбивают четырехугольник на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь всего четырехугольника равна сумме площадей этих треугольников:
$S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Для наших треугольников катетами являются отрезки, на которые точка O делит диагонали.
$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO$
$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO$
$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO$
$S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot AO$

Подставим выражения для площадей треугольников в формулу площади четырехугольника:
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO + \frac{1}{2} BO \cdot CO + \frac{1}{2} CO \cdot DO + \frac{1}{2} DO \cdot AO$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем слагаемые:
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( (AO \cdot BO + AO \cdot DO) + (CO \cdot BO + CO \cdot DO) )$
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( AO \cdot (BO + DO) + CO \cdot (BO + DO) )$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(BO + DO)$:
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( (AO + CO) \cdot (BO + DO) )$

Поскольку $AO + CO = AC$ (длина диагонали AC) и $BO + DO = BD$ (длина диагонали BD), мы можем подставить эти значения в формулу:
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$

Таким образом, доказано, что площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения его диагоналей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения длин его диагоналей.