Номер 474, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 474, страница 127.

Условие.

474 Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим произвольный треугольник, обозначим его $ABC$. Проведем в нем медиану из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим эту медиану $AM$.

По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $BC$, и длины отрезков $BM$ и $MC$ равны: $BM = MC$.

Медиана $AM$ разделяет исходный треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$. Нам нужно сравнить их площади, $S_{ABM}$ и $S_{ACM}$.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — длина основания треугольника, а $h_a$ — длина высоты, проведенной к этому основанию.

Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ на сторону $BC$. Эта высота $AH$ будет общей для обоих треугольников: $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$.

Рассчитаем площадь треугольника $\triangle ABM$. В качестве основания возьмем сторону $BM$. Тогда высота, проведенная к этому основанию (или его продолжению), будет $AH$.
$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot AH$

Теперь рассчитаем площадь треугольника $\triangle ACM$. В качестве основания возьмем сторону $MC$. Высота, проведенная к этому основанию, также будет $AH$.
$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot AH$

Сравним полученные выражения для площадей. Мы знаем, что основания этих треугольников равны ($BM = MC$), и они имеют общую высоту $AH$. Следовательно, их площади также равны.
$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot AH = S_{ACM}$

Ответ: площади двух треугольников, на которые медиана разделяет данный треугольник, равны.