Номер 467, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 467, страница 127.

Условие.

467 Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть сторона квадрата равна $a_{кв}$, а сторона ромба — $a_{ромб}$. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P_{кв} = 4a_{кв}$. Периметр ромба вычисляется по формуле $P_{ромб} = 4a_{ромб}$.

По условию задачи, их периметры равны: $P_{кв} = P_{ромб}$. Отсюда следует, что $4a_{кв} = 4a_{ромб}$, то есть $a_{кв} = a_{ромб}$. Обозначим длину стороны обеих фигур как $a$.

Теперь сравним их площади. Площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле:$S_{квадрата} = a^2$.

Площадь ромба можно вычислить по формуле:$S_{ромба} = a^2 \cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — это угол между смежными сторонами ромба.

Для квадрата все углы прямые, то есть $\alpha = 90^\circ$. Синус прямого угла равен единице: $\sin 90^\circ = 1$. Таким образом, формула площади для квадрата согласуется с общей формулой: $S_{квадрата} = a^2 \cdot \sin 90^\circ = a^2 \cdot 1 = a^2$.

В условии сказано, что ромб не является квадратом. Это означает, что его углы не равны $90^\circ$. Для любого угла $\alpha$ в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (что справедливо для углов параллелограмма), если $\alpha \ne 90^\circ$, то значение его синуса строго меньше 1, то есть $0 < \sin \alpha < 1$.

Сравнивая площади, мы получаем:$S_{квадрата} = a^2$$S_{ромба} = a^2 \cdot \sin \alpha$

Так как для ромба, не являющегося квадратом, $\sin \alpha < 1$, то $a^2 \cdot \sin \alpha < a^2$. Следовательно, $S_{ромба} < S_{квадрата}$.

Ответ: площадь квадрата больше площади ромба.