Номер 466, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 466, страница 127.

Условие.

466 Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов 45°.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, где $a$ – бóльшая сторона, а $b$ – меньшая. По условию, $a = 15,2$ см, а один из углов равен $45^\circ$. Этот угол является острым, обозначим его $\alpha = 45^\circ$.

В параллелограмме есть две диагонали: меньшая ($d_1$), которая лежит напротив острого угла, и бóльшая ($d_2$), которая лежит напротив тупого угла. По условию, одна из диагоналей равна одной из сторон.

Рассмотрим треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и меньшей диагональю $d_1$. Угол между сторонами $a$ и $b$ в этом треугольнике равен $\alpha = 45^\circ$. Анализ возможных вариантов показывает, что единственная непротиворечивая ситуация возникает, когда меньшая диагональ равна меньшей стороне, то есть $d_1 = b$.

В этом случае треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и диагональю $d_1=b$, является равнобедренным. Две его стороны равны $b$. Угол между стороной $a$ (основание) и стороной $b$ равен $45^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, угол между стороной $a$ и диагональю $d_1$ также равен $45^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол (между стороной $b$ и диагональю $d_1$) равен:$180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$. Таким образом, этот треугольник является прямоугольным и равнобедренным. Сторона $a$ является его гипотенузой, а стороны $b$ – катетами.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдем длину стороны $b$:$b = a \cdot \cos(45^\circ) = 15,2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7,6\sqrt{2}$ см.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$. Подставим известные значения:$S = 15,2 \cdot (7,6\sqrt{2}) \cdot \sin(45^\circ)$$S = 15,2 \cdot 7,6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$S = 15,2 \cdot 7,6 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2}$$S = 15,2 \cdot 7,6 \cdot \frac{2}{2}$$S = 15,2 \cdot 7,6 = 115,52$ см$^2$.

Ответ: $115,52$ см$^2$.