Номер 465, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 465, страница 127.

Условие.

465 Острый угол параллелограмма равен $30^\circ$, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол между ними $\alpha = 30^\circ$. Высоты, проведенные к этим сторонам, обозначим $h_a$ и $h_b$. Согласно условию, высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Пусть $h_a = 2$ см, а $h_b = 3$ см.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формулам $S = a \cdot h_a$ или $S = b \cdot h_b$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, которые образуют высоты со сторонами параллелограмма. Каждая высота является катетом, противолежащим острому углу $\alpha$, а смежная сторона параллелограмма — гипотенузой. Отсюда следуют соотношения: $h_a = b \cdot \sin(\alpha)$ $h_b = a \cdot \sin(\alpha)$

Из этих соотношений можно выразить стороны $a$ и $b$: $a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$ $b = \frac{h_a}{\sin(\alpha)}$

Теперь найдем площадь, используя формулу $S = a \cdot h_a$ и подставив в нее выражение для стороны $a$: $S = \left(\frac{h_b}{\sin(\alpha)}\right) \cdot h_a = \frac{h_a \cdot h_b}{\sin(\alpha)}$

Подставим известные значения: $h_a = 2$ см, $h_b = 3$ см и $\alpha = 30^\circ$. Учитывая, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $S = \frac{2 \cdot 3}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot 2 = 12$ см².

Ответ: 12 см².