Номер 464, страница 126 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 464, страница 126.

Условие.

464 Пусть $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, $S$ — площадь, $h_1$ и $h_2$ — его высоты. Найдите:

а) $h_2$, если $a=18 \text{ см}$, $b=30 \text{ см}$, $h_1=6 \text{ см}$, $h_2 > h_1$;

б) $h_1$, если $a=10 \text{ см}$, $b=15 \text{ см}$, $h_2=6 \text{ см}$, $h_2 > h_1$;

в) $h_1$ и $h_2$, если $S=54 \text{ см}^2$, $a=4,5 \text{ см}$, $b=6 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле $S = \text{сторона} \times \text{высота}$. Для смежных сторон $a$ и $b$ и соответствующих им высот $h_a$ и $h_b$ справедливо равенство: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$.
Важное свойство высот параллелограмма: к большей стороне проведена меньшая высота, а к меньшей стороне — большая.
Дано: $a = 18$ см, $b = 30$ см, $h_1 = 6$ см, $h_2 > h_1$.
Так как сторона $a < b$ ($18 < 30$), то соответствующая ей высота должна быть больше, а высота, соответствующая стороне $b$, — меньше.
Условие $h_2 > h_1$ означает, что $h_2$ — это большая высота, а $h_1$ — меньшая.
Следовательно, меньшая высота $h_1 = 6$ см проведена к большей стороне $b = 30$ см, а большая высота $h_2$ проведена к меньшей стороне $a = 18$ см.
Найдем площадь параллелограмма, используя сторону $b$ и высоту $h_1$:
$S = b \cdot h_1 = 30 \cdot 6 = 180 \text{ см}^2$.
Теперь, зная площадь и сторону $a$, найдем высоту $h_2$:
$S = a \cdot h_2$
$180 = 18 \cdot h_2$
$h_2 = \frac{180}{18} = 10$ см.
Проверим условие: $h_2 > h_1 \implies 10 > 6$. Условие выполняется.
Ответ: $h_2 = 10$ см.

б) Дано: $a = 10$ см, $b = 15$ см, $h_2 = 6$ см, $h_2 > h_1$.
Здесь сторона $a < b$ ($10 < 15$). Значит, высота, проведенная к стороне $a$, должна быть больше высоты, проведенной к стороне $b$.
Из условия $h_2 > h_1$ следует, что $h_2$ — большая высота, а $h_1$ — меньшая.
Таким образом, большая высота $h_2 = 6$ см проведена к меньшей стороне $a = 10$ см, а меньшая высота $h_1$ — к большей стороне $b = 15$ см.
Вычислим площадь параллелограмма через сторону $a$ и высоту $h_2$:
$S = a \cdot h_2 = 10 \cdot 6 = 60 \text{ см}^2$.
Теперь найдем высоту $h_1$, используя площадь и сторону $b$:
$S = b \cdot h_1$
$60 = 15 \cdot h_1$
$h_1 = \frac{60}{15} = 4$ см.
Проверим условие: $h_2 > h_1 \implies 6 > 4$. Условие выполняется.
Ответ: $h_1 = 4$ см.

в) Дано: $S = 54 \text{ см}^2$, $a = 4,5$ см, $b = 6$ см.
Нужно найти высоты $h_1$ и $h_2$. Пусть $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$, а $h_b$ — высота, проведенная к стороне $b$.
Найдем $h_a$:
$S = a \cdot h_a$
$54 = 4,5 \cdot h_a$
$h_a = \frac{54}{4,5} = \frac{540}{45} = 12$ см.
Найдем $h_b$:
$S = b \cdot h_b$
$54 = 6 \cdot h_b$
$h_b = \frac{54}{6} = 9$ см.
Мы получили две высоты: 9 см и 12 см.
По аналогии с предыдущими пунктами, где $h_1$ была меньшей высотой, а $h_2$ - большей ($h_2 > h_1$), присвоим значения:
$h_1 = 9$ см (меньшая высота, проведенная к большей стороне $b=6$ см).
$h_2 = 12$ см (большая высота, проведенная к меньшей стороне $a=4,5$ см).
Ответ: $h_1 = 9$ см, $h_2 = 12$ см.