Номер 473, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 473, страница 127.

Условие.

473 Через вершину $C$ треугольника $ABC$ проведена прямая $m$, параллельная стороне $AB$. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой $m$ и основанием $AB$ имеют равные площади.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – длина основания треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Рассмотрим любой треугольник, у которого основанием является сторона $AB$, а третья вершина, назовем ее $K$, лежит на прямой $m$. Исходный треугольник $ABC$ является частным случаем такого треугольника.

Площадь любого такого треугольника $ABK$ вычисляется по формуле: $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h_K$, где $|AB|$ – длина основания $AB$, а $h_K$ – высота, опущенная из вершины $K$ на прямую, содержащую основание $AB$.

По условию задачи, прямая $m$ параллельна стороне $AB$ (что можно записать как $m \parallel AB$).

Основное свойство параллельных прямых заключается в том, что расстояние между ними постоянно. Это означает, что длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую, является величиной постоянной.

Поскольку все возможные третьи вершины наших треугольников (включая точку $C$ и любую другую точку $K$) лежат на прямой $m$, а основание $AB$ лежит на прямой, параллельной $m$, то высоты всех этих треугольников, проведенные к основанию $AB$, равны расстоянию между этими параллельными прямыми. Следовательно, все эти высоты равны между собой. Обозначим эту постоянную высоту как $h$.

Таким образом, для любого треугольника с основанием $AB$ и вершиной на прямой $m$, его площадь будет вычисляться как $S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$.

Так как длина основания $|AB|$ и высота $h$ являются постоянными величинами для всех рассматриваемых треугольников, их площади будут равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Все треугольники с вершинами на прямой $m$ и основанием $AB$ имеют равные площади, так как у них общее основание $AB$ и равные высоты. Высота каждого такого треугольника равна постоянному расстоянию между параллельными прямыми, на которых лежат основание и третья вершина.