Номер 481, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 481, страница 128.

Условие.

481 Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен $135^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. В такой трапеции углы при вершинах A и B являются прямыми, то есть $∠A = ∠B = 90°$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне CD, равна $180°$, то есть $∠C + ∠D = 180°$. По условию, больший угол трапеции равен $135°$. Так как углы A и B равны $90°$, то либо $∠C$, либо $∠D$ равен $135°$. Пусть $∠C = 135°$. Тогда острый угол трапеции $∠D = 180° - 135° = 45°$.

Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Четырехугольник ABCH является прямоугольником, так как все его углы прямые. Следовательно, высота трапеции $CH = AB$, а отрезок $AH = BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Угол $∠CHD = 90°$, угол $∠D = 45°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому угол $∠HCD = 180° - 90° - 45° = 45°$. Поскольку два угла в треугольнике CHD равны, он является равнобедренным, и его катеты равны: $CH = HD$.

Обозначим высоту $AB$ как $h$, а меньшее основание $BC$ как $a$. Тогда стороны трапеции можно выразить следующим образом:
Высота: $AB = h$.
Меньшее основание: $BC = a$.
Так как $CH = AB = h$ и $HD = CH$, то $HD = h$.
Большее основание: $AD = AH + HD = BC + HD = a + h$.
Боковая сторона $CD$ является гипотенузой в равнобедренном прямоугольном треугольнике CHD, ее длина равна $CD = CH \cdot \sqrt{2} = h\sqrt{2}$.

Таким образом, стороны трапеции равны $a$, $h$, $a+h$ и $h\sqrt{2}$.
Сравним их длины: $a+h$ больше, чем $a$ и $h$. Также $h\sqrt{2}$ (где $\sqrt{2} \approx 1.414$) больше, чем $h$. Следовательно, две наименьшие стороны — это меньшее основание $a$ и высота $h$.

По условию задачи, две меньшие стороны равны 6 см. Значит, $a = 6$ см и $h = 6$ см.

Теперь найдем длины оснований и высоту для расчета площади:
Меньшее основание $BC = a = 6$ см.
Большее основание $AD = a + h = 6 + 6 = 12$ см.
Высота $AB = h = 6$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB$.

Подставим найденные значения: $S = \frac{6 + 12}{2} \cdot 6 = \frac{18}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: $54 \text{ см}^2$.