Номер 482, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции - номер 482, страница 128.

Условие.

482 Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$. По условию, тупой угол равен $135^{\circ}$, пусть $\angle B = 135^{\circ}$. Из вершины этого угла проведена высота $BH$ к основанию $AD$. Высота делит основание $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$, длины которых равны $1,4$ см и $3,4$ см.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$. Следовательно, острый угол при большем основании $\angle A$ равен:
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ ( $\angle H = 90^{\circ}$ ). Мы знаем, что $\angle A = 45^{\circ}$, тогда и другой острый угол этого треугольника $\angle ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Так как углы при основании $AB$ равны, то треугольник $\triangle ABH$ является равнобедренным, и его катеты равны: $AH = BH$.

В равнобедренной трапеции отрезок, который отсекает высота, проведенная из вершины тупого угла, от большего основания ($AH$), равен полуразности оснований, а оставшаяся часть большего основания ($HD$) равна полусумме оснований. Так как основания имеют положительную длину, полусумма оснований всегда больше их полуразности. Следовательно, $HD > AH$.
Из этого следует, что меньший отрезок $AH = 1,4$ см, а больший отрезок $HD = 3,4$ см.

Так как $AH = BH$, то высота трапеции $h = BH = 1,4$ см.

Теперь найдем длины оснований трапеции.
Большее основание $AD = AH + HD = 1,4 + 3,4 = 4,8$ см.
Меньшее основание $BC$ можно найти из того, что $HD$ является полусуммой оснований:
$HD = \frac{AD+BC}{2}$
$3,4 = \frac{4,8+BC}{2}$
$6,8 = 4,8 + BC$
$BC = 6,8 - 4,8 = 2,0$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, $h$ - высота.
$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot BH = \frac{4,8+2,0}{2} \cdot 1,4 = \frac{6,8}{2} \cdot 1,4 = 3,4 \cdot 1,4 = 4,76$ см$^2$.

Ответ: $4,76$ см$^2$.