Номер 488, страница 132 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 488, страница 132.

Условие.

488. Найдите:

а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;

б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Для нахождения высоты равностороннего треугольника воспользуемся формулой, связывающей высоту $h$ и сторону $a$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
По условию, сторона треугольника $a = 6$ см. Подставим это значение в формулу:
$h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Также эту задачу можно решить с помощью теоремы Пифагора. Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных прямоугольных треугольника. Гипотенуза такого треугольника равна стороне $a$, один катет — это высота $h$, а другой катет равен половине стороны $\frac{a}{2}$.
По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$.
$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = 6^2 - (\frac{6}{2})^2 = 36 - 3^2 = 36 - 9 = 27$.
$h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см.
Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

б) Используем ту же формулу, что и в пункте а): $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Нам нужно найти сторону $a$, зная высоту $h$. Выразим $a$ из формулы:
$a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$.
По условию, высота треугольника $h = 4$ см. Подставим это значение:
$a = \frac{2 \cdot 4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$a = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.