Номер 490, страница 132 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 490, страница 132.

Условие.

490 Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если:

а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см;

б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен $120^{\circ}$;

в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Дан равнобедренный треугольник, у которого основание $a = 12$ см, а высота, проведенная к основанию, $h = 8$ см.

1. Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} a h$.

Подставляем известные значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$.

2. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Она делит основание на два равных отрезка: $12 / 2 = 6$ см. Эта высота, половина основания и боковая сторона (обозначим ее $b$) образуют прямоугольный треугольник.

Применяя теорему Пифагора, находим боковую сторону:

$b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

$b^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$b = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: боковая сторона равна 10 см, площадь равна $48 \text{ см}^2$.

б)

Дан равнобедренный треугольник, у которого основание $a = 18$ см, а угол, противолежащий основанию, $\beta = 120^\circ$. Боковые стороны (обозначим их $b$) равны.

1. Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны. Найдем их величину (обозначим $\alpha$):

$\alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

2. Для нахождения боковой стороны $b$ воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin \beta} = \frac{b}{\sin \alpha}$.

$\frac{18}{\sin 120^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}$

$b = \frac{18 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{18 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

3. Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2} b \cdot b \sin \beta = \frac{1}{2} b^2 \sin \beta$.

$S = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{3})^2 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot (36 \cdot 3) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 108 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 27\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: боковая сторона равна $6\sqrt{3}$ см, площадь равна $27\sqrt{3} \text{ см}^2$.

в)

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Это означает, что его катеты равны и являются боковыми сторонами (обозначим их $b$), а гипотенуза является основанием. Высота, проведенная к гипотенузе, $h = 7$ см.

1. В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию (гипотенузе), является также и медианой. Следовательно, высота $h$ равна половине гипотенузы $c$.

$h = \frac{c}{2} \implies c = 2h = 2 \cdot 7 = 14$ см.

2. Найдем боковую сторону (катет) $b$, используя теорему Пифагора: $b^2 + b^2 = c^2$.

$2b^2 = c^2$

$2b^2 = 14^2 = 196$

$b^2 = 98$

$b = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$ см.

3. Площадь треугольника ($S$) можно найти как половину произведения основания (гипотенузы) на высоту, проведенную к нему:

$S = \frac{1}{2} c h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 = 49 \text{ см}^2$.

Ответ: боковая сторона равна $7\sqrt{2}$ см, площадь равна $49 \text{ см}^2$.