Номер 496, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 496, страница 133.

Условие.

496 Основание $D$ высоты $CD$ треугольника $ABC$ лежит на стороне $AB$, причём $AD=BC$. Найдите $AC$, если $AB=3$, а $CD=\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку $CD$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$, то треугольники $ADC$ и $BDC$ являются прямоугольными ($\angle CDA = \angle CDB = 90^\circ$).

Обозначим длину отрезка $AD$ через $x$. Из условия задачи следует, что $AD = BC$, поэтому $BC = x$.

Так как точка $D$ лежит на стороне $AB$, то $AB = AD + DB$. По условию $AB = 3$, следовательно, $DB = AB - AD = 3 - x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($BC$) равен сумме квадратов катетов ($DB$ и $CD$):

$BC^2 = DB^2 + CD^2$

Подставим в это уравнение известные значения и введенные переменные:

$x^2 = (3 - x)^2 + (\sqrt{3})^2$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x^2 = (9 - 6x + x^2) + 3$

$x^2 = 12 - 6x + x^2$

$0 = 12 - 6x$

$6x = 12$

$x = 2$

Таким образом, мы нашли, что $AD = 2$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ для нахождения стороны $AC$. $AC$ является гипотенузой в этом треугольнике. Снова применим теорему Пифагора:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

Подставим известные значения $AD = 2$ и $CD = \sqrt{3}$:

$AC^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2$

$AC^2 = 4 + 3$

$AC^2 = 7$

Так как длина стороны является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:

$AC = \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$.