Номер 4, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Вопросы к главе 6 - номер 4, страница 133.

Условие.

4 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Если длины смежных сторон прямоугольника равны $a$ и $b$, то его площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$

Доказательство

Доказательство теоремы основано на основных свойствах (аксиомах) площадей:

1. Площадь любого многоугольника — положительное число.
2. Равные многоугольники имеют равные площади.
3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников без общих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
4. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице. Такой квадрат называют единичным.

Доказательство проведем в несколько этапов.

1. Случай, когда стороны прямоугольника — натуральные числа.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Разобьем этот прямоугольник на единичные квадраты (квадраты со стороной 1). По длине стороны $a$ уложится ровно $a$ таких квадратов, а по длине стороны $b$ — ровно $b$. Таким образом, весь прямоугольник будет разбит на $a \cdot b$ единичных квадратов. Согласно аксиоме о площади единичного квадрата, площадь каждого из них равна 1. По аксиоме о сумме площадей, площадь всего прямоугольника равна сумме площадей всех единичных квадратов, то есть $S = a \cdot b \cdot 1 = a \cdot b$. Теорема верна для натуральных $a$ и $b$.

2. Случай, когда стороны прямоугольника — рациональные числа (конечные десятичные дроби).

Пусть стороны прямоугольника равны $a = p/q$ и $b = m/n$, где $p, q, m, n$ — натуральные числа. Приведем эти дроби к общему знаменателю: $a = \frac{pn}{qn}$ и $b = \frac{mq}{qn}$.

Возьмем квадрат со стороной $\frac{1}{qn}$. Весь наш прямоугольник можно разбить на $pn \cdot mq$ таких маленьких квадратов. Площадь такого маленького квадрата найдем, исходя из того, что единичный квадрат (со стороной 1) можно разбить на $(qn) \cdot (qn) = (qn)^2$ таких квадратов. Значит, площадь одного маленького квадрата равна $\frac{1}{(qn)^2}$.

Тогда площадь всего прямоугольника, состоящего из $pn \cdot mq$ таких квадратов, будет равна: $S = (pn \cdot mq) \cdot \frac{1}{(qn)^2} = \frac{pnmq}{q^2n^2} = \frac{pm}{qn} = \frac{p}{q} \cdot \frac{m}{n} = a \cdot b$. Теорема верна для рациональных $a$ и $b$.

3. Случай, когда хотя бы одна из сторон прямоугольника — иррациональное число.

Этот случай доказывается методом предельного перехода (методом исчерпывания). Пусть прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. Рассмотрим два набора рациональных чисел $a_n, a'_n$ и $b_n, b'_n$ таких, что для любого натурального $n$ выполняются неравенства:

$a_n < a < a'_n$ и $b_n < b < b'_n$, причем $a'_n - a_n < \frac{1}{n}$ и $b'_n - b_n < \frac{1}{n}$.

Такие числа всегда можно найти (например, взяв десятичные приближения $a$ и $b$ с недостатком и с избытком с точностью до $1/n$).

Площадь $S$ нашего прямоугольника заключена между площадями двух других прямоугольников с рациональными сторонами: одного, вписанного в наш ($a_n, b_n$), и другого, описанного около нашего ($a'_n, b'_n$).

$S_{вписанного} < S < S_{описанного}$

Так как для рациональных сторон формула уже доказана, имеем:

$a_n \cdot b_n < S < a'_n \cdot b'_n$

При $n \to \infty$, разность $1/n \to 0$. Следовательно, $a_n \to a$, $a'_n \to a$, $b_n \to b$ и $b'_n \to b$.

Это означает, что последовательности площадей вписанных и описанных прямоугольников стремятся к одному и тому же пределу: $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b$ $\lim_{n \to \infty} (a'_n \cdot b'_n) = a \cdot b$

Поскольку величина $S$ заключена между двумя последовательностями, имеющими один и тот же предел, то $S$ также равна этому пределу (по теореме о двух милиционерах).

$S = a \cdot b$

Таким образом, теорема доказана для любых действительных длин сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.