Номер 6, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Вопросы к главе 6 - номер 6, страница 133.

Условие.

6 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного тре-угольника по его катетам?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведённую к этому основанию.

Если $S$ – площадь треугольника, $a$ – длина его основания, а $h$ – высота, проведённая к этому основанию, то формула площади имеет вид: $S = \frac{1}{2}ah$

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$. Примем сторону $AC$ за основание и обозначим её длину как $a$. Проведём из вершины $B$ на основание $AC$ высоту $BH$, её длину обозначим как $h$.

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$. Для этого проведём через точку $B$ прямую, параллельную стороне $AC$, и через точку $C$ прямую, параллельную стороне $AB$. Точку их пересечения обозначим как $D$.

Получившаяся фигура $ABDC$ является параллелограммом (по построению). Диагональ $BC$ делит этот параллелограмм на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$. Их равенство следует из того, что у них общая сторона $BC$, а стороны $AB = DC$ и $AC = DB$ как противоположные стороны параллелограмма.

Поскольку треугольники равны, их площади также равны: $S_{ABC} = S_{DCB}$.

Площадь всего параллелограмма $ABDC$ равна сумме площадей этих треугольников, то есть $S_{ABDC} = S_{ABC} + S_{DCB} = 2 \cdot S_{ABC}$.

С другой стороны, площадь параллелограмма вычисляется как произведение его основания на высоту. Для параллелограмма $ABDC$ основанием является сторона $AC = a$, а высотой — отрезок $BH = h$. Следовательно, $S_{ABDC} = a \cdot h$.

Приравнивая два полученных выражения для площади параллелограмма, получаем: $2 \cdot S_{ABC} = a \cdot h$

Отсюда находим площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2}ah$

Теорема доказана.

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения длины его стороны на длину проведённой к этой стороне высоты ($S = \frac{1}{2}ah$).

Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

Для вычисления площади прямоугольного треугольника можно использовать общую теорему о площади треугольника, учитывая его особенности.

В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Катеты взаимно перпендикулярны.

Если мы примем один из катетов, например, катет $a$, за основание треугольника, то второй катет $b$ будет высотой, проведённой к этому основанию, так как он перпендикулярен ему.

Применим общую формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$. Подставив в неё в качестве основания катет $a$, а в качестве высоты катет $b$, получим: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Следовательно, чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника, нужно найти половину произведения длин его катетов.

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Формула: $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ – длины катетов.