Номер 8, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Вопросы к главе 6 - номер 8, страница 133.

Условие.

8 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Если $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $h$ — её высота, то площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD=a$ и $BC=b$. Проведем высоту $h$ трапеции.

Проведём диагональ $BD$, которая разделяет трапецию $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Площадь трапеции равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}$

Площадь треугольника $\triangle ABD$ равна половине произведения его основания $AD$ на высоту, проведенную к этому основанию. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $B$ на основание $AD$, совпадает с высотой трапеции $h$. Таким образом:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2}ah$

Площадь треугольника $\triangle BCD$ равна половине произведения его основания $BC$ на высоту, проведенную к этому основанию. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $D$ на прямую, содержащую основание $BC$, также равна высоте трапеции $h$. Таким образом:

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2}bh$

Теперь сложим площади двух треугольников, чтобы найти площадь трапеции:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(a+b)h = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Теорема доказана.

Ответ: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $S$ — площадь трапеции, $a$ и $b$ — длины её оснований, $h$ — высота.