Номер 502, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 502, страница 134.

Условие.

502. Высоты параллелограмма равны $5 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$, а периметр равен $42 \text{ см}$. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, как $h_a$ и $h_b$ соответственно. Из условия задачи известны высоты $h_1 = 5$ см и $h_2 = 4$ см, а также периметр $P = 42$ см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Подставив известное значение, получим сумму смежных сторон:

$2(a+b) = 42$

$a+b = 21$

Отсюда можно выразить одну сторону через другую, например, $b = 21 - a$.

Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение стороны на проведенную к ней высоту. Таким образом, площадь $S$ можно выразить двумя способами:

$S = a \cdot h_a$

$S = b \cdot h_b$

Так как площадь параллелограмма — величина постоянная, то $a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

Следует помнить, что в параллелограмме к большей стороне проведена меньшая высота, а к меньшей стороне — большая. Пусть стороне $a$ соответствует высота $h_a = 5$ см, а стороне $b$ — высота $h_b = 4$ см. Тогда мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a+b = 21 \\ 5a = 4b \end{cases}$

Подставим выражение $b = 21 - a$ из первого уравнения во второе:

$5a = 4(21-a)$

$5a = 84 - 4a$

$5a + 4a = 84$

$9a = 84$

$a = \frac{84}{9} = \frac{28}{3}$ см.

Теперь, зная сторону $a$ и соответствующую ей высоту $h_a$, можем найти площадь параллелограмма:

$S = a \cdot h_a = \frac{28}{3} \cdot 5 = \frac{140}{3}$ см².

Площадь можно выразить в виде смешанной дроби: $\frac{140}{3} = 46\frac{2}{3}$ см².

Ответ: $\frac{140}{3}$ см².