Номер 507, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 507, страница 134.

Условие.

507* Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Нет, из этого не следует, что площадь первого треугольника больше площади второго. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример, то есть найти два таких треугольника, которые удовлетворяют условию о сторонах, но для которых площадь первого будет меньше площади второго.

Рассмотрим два треугольника, $T_1$ и $T_2$.

Пусть треугольник $T_2$ — равносторонний со сторонами $a_2 = b_2 = c_2 = 10$. Все его стороны равны 10. Его площадь $S_2$ можно вычислить по формуле для площади равностороннего треугольника:

$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник $T_1$. Выберем для него стороны так, чтобы каждая из них была больше 10, но при этом треугольник был «сплющенным» (один из углов был близок к $180^\circ$), что даст малую площадь.

Пусть стороны треугольника $T_1$ равны $a_1 = 10.1$, $b_1 = 10.1$ и $c_1 = 20$.

Проверим выполнение условий:

1. Каждая сторона $T_1$ больше любой стороны $T_2$. Наименьшая сторона $T_1$ равна 10.1, а наибольшая сторона $T_2$ равна 10. Так как $10.1 > 10$, это условие выполнено.
2. Проверим, что треугольник $T_1$ с такими сторонами существует, с помощью неравенства треугольника. Для равнобедренного треугольника достаточно проверить, что сумма двух равных сторон больше третьей стороны:
   $a_1 + b_1 > c_1 \implies 10.1 + 10.1 > 20 \implies 20.2 > 20$ (верно).
   Следовательно, треугольник $T_1$ существует.

Теперь вычислим площадь $S_1$ треугольника $T_1$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Полупериметр $T_1$: $p_1 = \frac{10.1 + 10.1 + 20}{2} = \frac{40.2}{2} = 20.1$.

Площадь $S_1$:

$S_1 = \sqrt{20.1(20.1 - 10.1)(20.1 - 10.1)(20.1 - 20)} = \sqrt{20.1 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 0.1} = \sqrt{201}$.

Теперь сравним площади $S_1$ и $S_2$. Для этого сравним их квадраты:

$S_1^2 = (\sqrt{201})^2 = 201$.

$S_2^2 = (25\sqrt{3})^2 = 25^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 625 \cdot 3 = 1875$.

Поскольку $201 < 1875$, то $S_1^2 < S_2^2$, а значит и $S_1 < S_2$.

Таким образом, мы нашли пример двух треугольников, где каждая сторона первого больше любой стороны второго, но площадь первого треугольника меньше площади второго. Следовательно, утверждение в задаче неверно.

Ответ: Нет, не следует.