Номер 511, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 511, страница 134.

Условие.

511 В трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AB$ и $CD$ диагонали пересекаются в точке $O$.

a) Сравните площади треугольников $ABD$ и $ACD$.

б) Сравните площади треугольников $ABO$ и $CDO$.

в) Докажите, что выполняется равенство $OA \cdot OB = OC \cdot OD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а) Пусть в трапеции $ABCD$ основаниями являются $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. У этих треугольников общее основание $AD$. Высоты, проведенные из вершин $B$ и $C$ к этому основанию, равны между собой и равны высоте трапеции, так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Обозначим эту высоту как $h$.
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Для треугольника $ABD$ площадь равна $S_{ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot h$.
Для треугольника $ACD$ площадь равна $S_{ACD} = \frac{1}{2} AD \cdot h$.
Таким образом, $S_{ABD} = S_{ACD}$.
Ответ: Площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны.

б) Из предыдущего пункта мы установили, что площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.
Площадь треугольника $ABD$ состоит из площадей треугольников $ABO$ и $AOD$: $S_{ABD} = S_{ABO} + S_{AOD}$.
Площадь треугольника $ACD$ состоит из площадей треугольников $CDO$ и $AOD$: $S_{ACD} = S_{CDO} + S_{AOD}$.
Приравнивая выражения для площадей, получаем: $S_{ABO} + S_{AOD} = S_{CDO} + S_{AOD}$.
Вычитая из обеих частей равенства площадь треугольника $AOD$ (которая является общей для обоих треугольников), получаем: $S_{ABO} = S_{CDO}$.
Ответ: Площади треугольников $ABO$ и $CDO$ равны.

в) Воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Пусть $\angle AOB = \alpha$. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle COD = \angle AOB = \alpha$.
Выразим площади треугольников $ABO$ и $CDO$ через эту формулу:
$S_{ABO} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\alpha)$.
$S_{CDO} = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\alpha)$.
Из пункта б) мы знаем, что $S_{ABO} = S_{CDO}$. Приравняем полученные выражения:
$\frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\alpha)$.
Поскольку диагонали пересекаются, угол $\alpha$ не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, а значит $\sin(\alpha) \neq 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $\frac{1}{2} \sin(\alpha)$, не равное нулю.
В результате получаем: $OA \cdot OB = OC \cdot OD$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $OA \cdot OB = OC \cdot OD$ доказано.