Номер 515, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 515, страница 135.

Условие.

515 Найдите площадь равнобедренного треугольника, если:

а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен $30^{\circ}$;

б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в $45^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник с боковой стороной $b = 20$ см и углом при основании $\alpha = 30^{\circ}$. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}a \cdot c \cdot \sin(\beta)$, где $a$ и $c$ — стороны, а $\beta$ — угол между ними.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, пусть это будут стороны $a$ и $c$, тогда $a=c=20$ см. Углы при основании также равны, по $30^{\circ}$ каждый. Найдем угол $\beta$ при вершине, противолежащей основанию. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому:

$\beta = 180^{\circ} - 2\alpha = 180^{\circ} - 2 \cdot 30^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Теперь вычислим площадь, используя длины боковых сторон и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin(120^{\circ})$.

Значение синуса $120^{\circ}$ равно $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значение в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}$ см².

Ответ: $100\sqrt{3}$ см².

б)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $AH$ — высота, проведённая из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. По условию, $AH = 6$ см, и угол между высотой $AH$ и основанием $AC$ равен $45^{\circ}$, то есть $\angle HAC = 45^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Так как $AH$ — высота, то $\angle AHC = 90^{\circ}$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$, поэтому:

$\angle ACH = 90^{\circ} - \angle HAC = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.

Угол $\angle ACH$ является углом при основании $\angle C$ треугольника $ABC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны, следовательно $\angle BAC = \angle BCA = 45^{\circ}$.

Найдем угол при вершине $B$:

$\angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Это означает, что треугольник $ABC$ — прямоугольный. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла к противолежащему катету, совпадает с другим катетом. Таким образом, высота $AH$, проведенная из вершины $A$ к катету $BC$, является катетом $AB$.

Следовательно, длина катета $AB = AH = 6$ см.

Поскольку треугольник равнобедренный, то и второй катет $BC = AB = 6$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см².

Ответ: $18$ см².